Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 3
Caso 3
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas e objetivo:
- A função integranda é
. - Precisamos calcular a integral indefinida (ou seja, encontrar uma primitiva) dessa função.
- Não há outras condições (constante de integração livre).
Passo 2
Vamos usar o método de frações parciais. Primeiro explico a ideia: quando o denominador é um produto de fatores quadráticos irreducíveis
, a forma geral da decomposição é
porque para cada fator quadrático irreduzível
precisamos de um numerador linear
. Essa escolha garante que o grau do numerador em cada fração é menor que o grau do denominador correspondente.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para obter uma identidade polinomial:
Agora expandimos os produtos termo a termo:
Somando as duas expansões obtemos
Passo 4
Comparando coeficientes de potências iguais de
Resolvendo: da primeira equação
, logo
Para
e
: da segunda
. Substituindo na quarta
, então
Passo 5
Com os coeficientes encontrados, a decomposição fica
Posso fatorar
para deixar mais claro:
Passo 6
Agora integramos termo a termo. Vou usar a substituição padrão para integrais do tipo
. Seja
. Então
, ou seja
. Assim
Aplicando isso a cada parcela:
Para
temos
.
Para
temos
.
Passo 7
Voltando à integral original, multiplicamos pelos fatores constantes:
Simplificando os coeficientes: