Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 3
\int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}\,dx.
Informações dadas e objetivo:
  • A função integranda é \dfrac{x}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}.
  • Precisamos calcular a integral indefinida (ou seja, encontrar uma primitiva) dessa função.
  • Não há outras condições (constante de integração livre).

Passo 2

Vamos usar o método de frações parciais. Primeiro explico a ideia: quando o denominador é um produto de fatores quadráticos irreducíveis \left(x^{2}+a\right), a forma geral da decomposição é
\frac{x}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}=\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+4},
porque para cada fator quadrático irreduzível (x^{2}+k) precisamos de um numerador linear Ex+F. Essa escolha garante que o grau do numerador em cada fração é menor que o grau do denominador correspondente.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x^{2}+1)(x^{2}+4) para obter uma identidade polinomial:
x=(Ax+B)(x^{2}+4)+(Cx+D)(x^{2}+1).
Agora expandimos os produtos termo a termo:
(Ax+B)(x^{2}+4)=A x^{3}+B x^{2}+4A x+4B,
(Cx+D)(x^{2}+1)=C x^{3}+D x^{2}+C x+D.
Somando as duas expansões obtemos
x=(A+C)x^{3}+(B+D)x^{2}+(4A+C)x+(4B+D).

Passo 4

Comparando coeficientes de potências iguais de x\) na identidade acima com o polinômio do lado esquerdo (que é \(0x^{3}+0x^{2}+1x+0\)), obtemos o sistema linear: \[\begin{cases} A+C=0,\\[4pt] B+D=0,\\[4pt] 4A+C=1,\\[4pt] 4B+D=0. \end{cases}
Resolvendo: da primeira equação C=-A\]. Substituindo na terceira dá \(4A+(-A)=3A=1, logo
A=\tfrac{1}{3},\qquad C=-\tfrac{1}{3}.
Para B e D: da segunda D=-B. Substituindo na quarta 4B+(-B)=3B=0, então
B=0,\qquad D=0.]

Passo 5

Com os coeficientes encontrados, a decomposição fica
\frac{x}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}=\frac{\tfrac{1}{3}x}{x^{2}+1}-\frac{\tfrac{1}{3}x}{x^{2}+4}.
Posso fatorar \tfrac{1}{3} para deixar mais claro:
\frac{x}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}=\tfrac{1}{3}\left(\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{x}{x^{2}+4}\right).

Passo 6

Agora integramos termo a termo. Vou usar a substituição padrão para integrais do tipo \int \dfrac{x}{x^{2}+a}\,dx. Seja u=x^{2}+a. Então du=2x\,dx, ou seja x\,dx=\tfrac{1}{2}\,du. Assim
\int \frac{x}{x^{2}+a}\,dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du=\frac{1}{2}\ln|u|+C=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+a\right)+C.
Aplicando isso a cada parcela:
Para \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx temos \displaystyle \frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right).
Para \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+4}\,dx temos \displaystyle \frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+4\right).

Passo 7

Voltando à integral original, multiplicamos pelos fatores constantes:
\int \frac{x}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}\,dx=\tfrac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right)-\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+4\right)\right)+C.
Simplificando os coeficientes:
=\frac{1}{6}\ln\left(x^{2}+1\right)-\frac{1}{6}\ln\left(x^{2}+4\right)+C =\frac{1}{6}\ln\!\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}+4}\right)+C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}\ln\!\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}+4}\right)+C

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