Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 2 \int \frac{3 x+4}{x(x+2)^{2}} d x
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral
\int \frac{3x+4}{x(x+2)^{2}}\,dx.
Informações dadas que vamos usar: \,3x+4 é o numerador; o denominador fatorado é x(x+2)^{2}.
A pergunta é: encontrar uma primitiva (ou seja, calcular a integral indefinida) dessa função racional.
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): como o denominador é produto de fatores lineares, com um fator repetido (x+2)^{2}, vamos decompor a fração em frações parciais da forma
onde A,B,C são constantes desconhecidas. Explico por que escolhemos essas frações:
para um fator simples x aparece um termo \dfrac{A}{x};
para um fator linear repetido (x+2)^{2} aparecem os termos \dfrac{B}{x+2} (para a potência 1) e \dfrac{C}{(x+2)^{2}} (para a potência 2).
Isso garante que somando essas frações obtemos qualquer racional com esse denominador (desde que grau do numerador seja menor que o do denominador, o que já é o caso).
Passo 3
Passo algébrico: multiplicamos a identidade pela x(x+2)^{2} para eliminar denominadores e obter uma identidade polinomial:
3x+4 = A(x+2)^{2} + B\,x(x+2) + Cx.
Agora vamos expandir o lado direito para igualar coeficientes. Primeiro expandimos (x+2)^{2}:
(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4.
Substituindo:
3x+4 = A(x^{2}+4x+4) + B(x^{2}+2x) + Cx.
Passo 4
Agrupando termos em potências de x\) no lado direito:
\[3x+4 = (A+B) x^{2} + (4A+2B+C) x + 4A.
Como o lado esquerdo é 0\cdot x^{2} + 3\cdot x + 4, igualamos coeficientes para obter um sistema: