Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 2
\int \frac{3 x+4}{x(x+2)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral
\int \frac{3x+4}{x(x+2)^{2}}\,dx.
Informações dadas que vamos usar:
\,3x+4 é o numerador; o denominador fatorado é x(x+2)^{2}.
A pergunta é: encontrar uma primitiva (ou seja, calcular a integral indefinida) dessa função racional.

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): como o denominador é produto de fatores lineares, com um fator repetido (x+2)^{2}, vamos decompor a fração em frações parciais da forma
\frac{3x+4}{x(x+2)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{(x+2)^{2}},
onde A,B,C são constantes desconhecidas. Explico por que escolhemos essas frações:
  • para um fator simples x aparece um termo \dfrac{A}{x};
  • para um fator linear repetido (x+2)^{2} aparecem os termos \dfrac{B}{x+2} (para a potência 1) e \dfrac{C}{(x+2)^{2}} (para a potência 2).
    Isso garante que somando essas frações obtemos qualquer racional com esse denominador (desde que grau do numerador seja menor que o do denominador, o que já é o caso).

Passo 3

Passo algébrico: multiplicamos a identidade pela x(x+2)^{2} para eliminar denominadores e obter uma identidade polinomial:
3x+4 = A(x+2)^{2} + B\,x(x+2) + Cx.
Agora vamos expandir o lado direito para igualar coeficientes. Primeiro expandimos (x+2)^{2}:
(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4.
Substituindo:
3x+4 = A(x^{2}+4x+4) + B(x^{2}+2x) + Cx.

Passo 4

Agrupando termos em potências de x\) no lado direito: \[3x+4 = (A+B) x^{2} + (4A+2B+C) x + 4A.
Como o lado esquerdo é 0\cdot x^{2} + 3\cdot x + 4, igualamos coeficientes para obter um sistema:
\begin{cases} A+B = 0,\\[4pt] 4A+2B+C = 3,\\[4pt] 4A = 4. \end{cases}
Resolvendo: da terceira equação vem A=1\]. Substituindo na primeira, \(1+B=0 então B=-1. Finalmente, na segunda:
4\cdot 1 + 2\cdot(-1) + C = 3 \quad\Rightarrow\quad 4-2+C=3 \quad\Rightarrow\quad C=1.]

Passo 5

Anotando a decomposição encontrada:
\frac{3x+4}{x(x+2)^{2}}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{(x+2)^{2}}.
Verificação rápida (mental): os coeficientes A=1,B=-1,C=1 satisfazem o sistema anterior, logo a decomposição está correta.

Passo 6

Agora integramos termo a termo. Lembre as primitivas básicas que usamos:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x+2}\,dx=\ln|x+2|+C (muda só a constante dentro do log).
  • \displaystyle \int \frac{1}{(x+2)^{2}}\,dx=\int (x+2)^{-2}\,dx = - (x+2)^{-1}+C = -\frac{1}{x+2}+C. Aqui usei a fórmula \int u^{n}du = \frac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq -1, com u=x+2.
Integrando a soma:
\int \frac{3x+4}{x(x+2)^{2}}\,dx = \int \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{(x+2)^{2}}\right) dx
= \int \frac{1}{x}\,dx - \int \frac{1}{x+2}\,dx + \int \frac{1}{(x+2)^{2}}\,dx
= \ln|x| - \ln|x+2| - \frac{1}{x+2} + C.

Passo 7

Podemos, se quisermos, juntar os dois logaritmos em um único logaritmo:
\ln|x| - \ln|x+2| = \ln\!\left|\frac{x}{x+2}\right|.
Então uma forma final conveniente da primitiva é
\ln\!\left|\frac{x}{x+2}\right| - \frac{1}{x+2} + C.
Ficou pronto! Você conseguiu: método das frações parciais, achar constantes e integrar cada termo. Força que você vai mandar bem na prova!

Resposta

\displaystyle \ln\!\left|\frac{x}{x+2}\right|-\frac{1}{x+2}+C

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