Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 1
\int \frac{1}{x(x+1)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral pelo método das Frações Parciais:
\int \frac{1}{x(x+1)}\,dx
Informações dadas:
  • A integral é de uma função racional \dfrac{1}{x(x+1)}.
  • O enunciado exige usar o método das Frações Parciais (ou seja, decompor em somatório de frações simples e integrar termo a termo).
  • Não há outras restrições; devemos fornecer a primitiva geral (com constante de integração).

Passo 2

Entendendo o método das Frações Parciais (a ideia, explicada passo a passo):
  • Quando temos uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} com grau de P menor que o de Q, podemos tentar decompor em frações simples cujo denominador são os fatores lineares ou quadráticos de Q.
  • Aqui Q(x)=x(x+1) tem dois fatores lineares distintos: x e x+1. Então a forma adequada da decomposição é:
\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1},
onde A e B são constantes a determinar. Vou explicar por que essa forma: cada fator linear gera uma fração do tipo \dfrac{\text{constante}}{\text{fator}}.

Passo 3

Encontrando as constantes A e B:
Multiplica ambos os lados por x(x+1) para eliminar denominadores:
1 = A(x+1) + Bx.
Agora, isso é uma identidade em x: a igualdade deve valer para todo x (onde está definida). Podemos achar A e B de duas maneiras; uso o método de substituir valores convenientes (mais rápido e direto).

Passo 4

Substituições para resolver as constantes:
  • Escolha x=0. Então da identidade obtemos
1 = A(0+1) + B\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad 1 = A.
Logo \;A=1.
  • Escolha x=-1. Então
1 = A( -1+1) + B(-1) \quad\Rightarrow\quad 1 = 0 + (-B) \quad\Rightarrow\quad B = -1.
Portanto \;A=1 e \;B=-1.

Passo 5

Escrevendo a decomposição final e verificando:
Substituindo A e B obtemos
\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}.
Isso é razoável: você pode conferir rapidamente reunindo termos sobre o mesmo denominador e obtendo 1 no numerador.

Passo 6

Integração termo a termo:
A integral original se transforma em duas integrais mais simples:
\int \frac{1}{x(x+1)}\,dx = \int \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\right)\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx - \int \frac{1}{x+1}\,dx.
Regra utilizada: para qualquer constante a,
\int \frac{1}{x+a}\,dx = \ln\!\left|x+a\right| + C,
porque a derivada de \ln|x+a| é \dfrac{1}{x+a}. Essa é uma primitiva padrão e muito útil em integrais racionais.

Passo 7

Aplicando a regra e simplificando os logaritmos:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\!\left|x\right| + C_1,\qquad \int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln\!\left|x+1\right| + C_2.
Subtraindo (juntando constantes em uma só C) obtemos
\int \frac{1}{x(x+1)}\,dx = \ln\!\left|x\right| - \ln\!\left|x+1\right| + C.
Usando a propriedade dos logaritmos \ln|u|-\ln|v|=\ln\!\left|\dfrac{u}{v}\right|, podemos escrever de forma compacta:
\ln\!\left|\frac{x}{x+1}\right| + C.
Observação sobre domínio: a primitiva está correta em qualquer intervalo onde a função integranda é definida e contínua (ou seja, afastando-se de x=0 e x=-1); o valor absoluto garante que o logaritmo esteja bem definido.

Resposta

\ln\!\left|\dfrac{x}{x+1}\right| + C

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