Calcule as integrais pelo método das Frações Parciais.
Caso 1 \int \frac{1}{x(x+1)} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral pelo método das Frações Parciais:
\int \frac{1}{x(x+1)}\,dx
Informações dadas:
A integral é de uma função racional \dfrac{1}{x(x+1)}.
O enunciado exige usar o método das Frações Parciais (ou seja, decompor em somatório de frações simples e integrar termo a termo).
Não há outras restrições; devemos fornecer a primitiva geral (com constante de integração).
Passo 2
Entendendo o método das Frações Parciais (a ideia, explicada passo a passo):
Quando temos uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} com grau de P menor que o de Q, podemos tentar decompor em frações simples cujo denominador são os fatores lineares ou quadráticos de Q.
Aqui Q(x)=x(x+1) tem dois fatores lineares distintos: x e x+1. Então a forma adequada da decomposição é:
\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1},
onde A e B são constantes a determinar. Vou explicar por que essa forma: cada fator linear gera uma fração do tipo \dfrac{\text{constante}}{\text{fator}}.
Passo 3
Encontrando as constantes A e B:
Multiplica ambos os lados por x(x+1) para eliminar denominadores:
1 = A(x+1) + Bx.
Agora, isso é uma identidade em x: a igualdade deve valer para todo x (onde está definida). Podemos achar A e B de duas maneiras; uso o método de substituir valores convenientes (mais rápido e direto).
Passo 4
Substituições para resolver as constantes:
Escolha x=0. Então da identidade obtemos
1 = A(0+1) + B\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad 1 = A.
Subtraindo (juntando constantes em uma só C) obtemos
\int \frac{1}{x(x+1)}\,dx = \ln\!\left|x\right| - \ln\!\left|x+1\right| + C.
Usando a propriedade dos logaritmos \ln|u|-\ln|v|=\ln\!\left|\dfrac{u}{v}\right|, podemos escrever de forma compacta:
\ln\!\left|\frac{x}{x+1}\right| + C.
Observação sobre domínio: a primitiva está correta em qualquer intervalo onde a função integranda é definida e contínua (ou seja, afastando-se de x=0 e x=-1); o valor absoluto garante que o logaritmo esteja bem definido.