Calcule as integrais mudando a ordem de integração de maneira apropriada.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{x{2}}{1} 12 x z e^{z y^{2}} d y d x d z

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
integralz=0^1integralx=0^1integraly=x^2^112,x,z,e^z,y^2;dy,dx,dz
O conteúdo aqui é integração múltipla e troca de ordem de integração para simplificar o cálculo.

Passo 2

Vamos descrever a região de integração no espaço (x,y,z):
0 <= z <= 1, 0 <= x <= 1, x^2 <= y <= 1
Projetando no plano xy, vemos que y varia de 0 a 1 e, para dado y, x vai de 0 até raizy. O z continua de 0 a 1.
Logo podemos trocar a ordem para
integralz=0^1integraly=0^1integralx=0^raizy12,x,z,e^z,y^2;dx,dy,dz

Passo 3

Integramos primeiro em x:
integralx=0^raizy12,x,z,e^z,y^2;dx = z,e^z,y^2;integral0^raizy12,x;dx = z,e^z,y^2;l[6,x^2r]0^raizy =6,y,z,e^z,y^2
Agora a integral fica
integralz=0^1integraly=0^16,y,z,e^z,y^2;dy,dz

Passo 4

Integramos em y. Use u = z,y^2, então du = 2,z,y,dy, ou y,dy = du/(2z). Assim
integraly=0^16,y,z,e^z,y^2;dy =6,z;integral0^1y,e^z,y^2;dy =6,z;integralu=0^u=z e^u2z;du =3integral0^ze^u;du =3l[e^ur]0^z =3l(e^z-1r)
Agora resta
integralz=0^13l(e^z-1r);dz

Passo 5

Integramos em z:
integral0^13l(e^z-1r);dz =3l[integral0^1e^z,dz ;-;integral0^11,dzr] =3l[(e^z)0^1 - (z)0^1r] =3l((e-1)-1r) =3,(e-2)

Resposta

3,(e - 2)

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