Seja an a sequência dada pela fórmula recursiva
an+1=an^2+22 an
com a1=1. Escreva os 7 primeiros termos desta sequência. Assumindo que lim an existe, encontre-o.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência definida de forma recursiva, ou seja, cada termo depende do anterior. A fórmula que define a sequência é:
an+1 = an^2 + 22 an
E o primeiro termo é a1 = 1 . Nosso objetivo é encontrar os 7 primeiros termos dessa sequência e, depois, descobrir qual é o limite dessa sequência quando n vai para o infinito, assumindo que esse limite existe. Para isso, vamos precisar entender como calcular termos de sequência recursiva e saber um pouquinho sobre limites de sequências.

Passo 2

Vamos começar calculando o segundo termo a2 usando a fórmula da recursão. Sabemos que a1 = 1 , então substituímos na fórmula:
a2 = a1^2 + 22 a1 = 1^2 + 22 times 1 = 1 + 22 = 32 = 1,5

Passo 3

Agora, vamos calcular o terceiro termo a3 usando a2 = 1,5 :
a3 = a2^2 + 22 a2 = (1,5)^2 + 22 times 1,5 = 2,25 + 23 = 4,253 approx 1,4167

Passo 4

Seguimos para o quarto termo a4 com a3 approx 1,4167 :
a4 = a3^2 + 22 a3 approx (1,4167)^2 + 22 times 1,4167 approx 2,0069 + 22,8334 approx 4,00692,8334 approx 1,4142

Passo 5

Vamos calcular o quinto termo a5 com a4 approx 1,4142 :
a5 = a4^2 + 22 a4 approx (1,4142)^2 + 22 times 1,4142 approx 2,0000 + 22,8284 approx 4,00002,8284 approx 1,4142

Passo 6

Agora, vamos para o sexto termo a6 usando a5 approx 1,4142 :
a6 = a5^2 + 22 a5 approx (1,4142)^2 + 22 times 1,4142 approx 2,0000 + 22,8284 approx 4,00002,8284 approx 1,4142

Passo 7

Finalmente, calculamos o sétimo termo a7 com a6 approx 1,4142 :
a7 = a6^2 + 22 a6 approx (1,4142)^2 + 22 times 1,4142 approx 2,0000 + 22,8284 approx 4,00002,8284 approx 1,4142

Resposta

Os 7 primeiros termos da sequência são aproximadamente:
a1 = 1, a2 = 1,5, a3 approx 1,4167, a4 approx 1,4142, a5 approx 1,4142, a6 approx 1,4142, a7 approx 1,4142
Assumindo que o limite existe, o limite da sequência é:
limn to infty an = raiz2 approx 1,4142

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