Demonstre que log 5+ log 3 é irracional

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que log 5 + log 3 é irracional. A matéria envolvida é:
  • Propriedade de logaritmos ( log a + log b = log(ab))
  • Definição de número racional (pode ser escrito como tfracpq com inteiros) e irracional (não pode)
  • Fatoração única em números primos
O que vamos fazer: usar a propriedade de log pra juntar, supor que isso é racional e, via fatoração prima, chegar num absurdo.

Passo 2

Primeiro, juntamos os logs:
log 5 + log 3 = log(5cdot3) = log 15
Agora, suponha que log 15 seja racional. Ou seja, existem p,qinZ, q>0, tais que
log 15 = pq
Pela definição de logaritmo na base 10 isso equivale a
10^pq = 15
Elevando ambos os lados a q:
10^p = 15^q
Como 10 = 2cdot5 e 15 = 3cdot5, fica
2^p,5^p = 3^q,5^q

Passo 3

Agora, pela unicidade da fatoração prima, a igualdade
2^p5^p = 3^q5^q
exige que cada lado tenha o mesmo número de fatores 2, 3 e 5. Só que:
  • Lado esquerdo só tem fatores 2 e 5
  • Lado direito só tem fatores 3 e 5
Não dá pra igualar esses padrões de primos. Até se você tentar forçar p=q e cancelar 5^p, sobra
2^p = 3^p,
que só seria verdade se p=0, mas aí 10^0/q=1neq15. É contradição em qualquer caso.

Resposta

log 5 + log 3 é irracional.

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