Demonstre que log
log 3 é irracional
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar que
é irracional. A matéria envolvida é:
- Propriedade de logaritmos (
) - Definição de número racional (pode ser escrito como
com inteiros) e irracional (não pode) - Fatoração única em números primos
O que vamos fazer: usar a propriedade de log pra juntar, supor que isso é racional e, via fatoração prima, chegar num absurdo.
Passo 2
Primeiro, juntamos os logs:
Agora, suponha que
seja racional. Ou seja, existem
,
, tais que
Pela definição de logaritmo na base 10 isso equivale a
Elevando ambos os lados a
:
Como
e
, fica
Passo 3
Agora, pela unicidade da fatoração prima, a igualdade
exige que cada lado tenha o mesmo número de fatores 2, 3 e 5. Só que:
- Lado esquerdo só tem fatores 2 e 5
- Lado direito só tem fatores 3 e 5
Não dá pra igualar esses padrões de primos. Até se você tentar forçar
e cancelar
, sobra
que só seria verdade se
, mas aí
. É contradição em qualquer caso.