— Questão 15. Determine f^prime, f^prime prime e f^prime prime prime
f(x)=cccx^2+3 x & se & x <= 1 5 x-1 & se & x>1

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= x^2+3x, & x<=1, 5x-1,& x>1,
e pede as derivadas primeira, segunda e terceira de f. Vamos usar que a derivada de um polinômio é obtida termo a termo e que em ponto de troca de ramo só existe derivada se os limites laterais coincidirem.

Passo 2

Para x<1, f(x)=x^2+3x. Aplicando a regra do poder e da soma temos
f'(x)=2x+3 (x<1)
Para x>1, f(x)=5x-1 é linear de coeficiente angular 5, logo
f'(x)=5 (x>1)

Passo 3

No ponto x=1 verificamos as derivadas laterais:
  • Pela esquerda: limxto1^- f'(x) = 2 cdot 1 + 3 = 5.
  • Pela direita: limxto1^+ f'(x) = 5.
    Como coincidem, f é diferenciável em 1 e vale
f'(1) = 5

Passo 4

Agora a segunda derivada. Para x<1, derivando f'(x)=2x+3
f''(x)=2 (x<1)
Para x>1, derivando f'(x)=5 (constante) dá
f''(x)=0 (x>1)

Passo 5

Em x=1 os limites laterais de f'' são diferentes ( 2 pela esquerda e 0 pela direita), então f''(1) não existe.

Passo 6

Finalmente, a terceira derivada. Para xneq1 cada ramo tem segunda derivada constante, logo
f'''(x)=0(x<1)e f'''(x)=0(x>1)
Em x=1 nem o segundo derivada existe, então o terceiro derivada também não existe aí.

Resposta

f’(x)
f’’(x)) não existe)
f’’’(x)
(f’’’((1]) não existe)

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