Calcule as integrais
(Não esqueça de usar a substituição para resolver essa questão!)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
.
O conteúdo principal é mudança de variáveis em integrais duplas. Vamos usar a substituição
O conteúdo principal é mudança de variáveis em integrais duplas. Vamos usar a substituição
que deixa a parte trigonométrica mais simples.
Passo 2
Expressamos
e
em função de
:
O Jacobiano da transformação é
logo
lvert Jrvert = 1 .]
Passo 3
Agora achamos os limites em
(u,v) . Como
vemos que para cada
vin[0,pi/6] temos
Passo 4
Reescrevendo a integral em
(u,v) :
Primeiro integramos em
u :
Então
Passo 5
Dividimos em duas integrais:
Usamos integração por partes em cada uma:
e, com
w=v+pi/3 ,
Passo 6
Agora avaliamos de
0 a
pi/6 :
Subtraindo,