Calcule as integrais
integral duplaR x sen(x+y) d A, R=[0, pi / 6] times[0, pi / 3] (Não esqueça de usar a substituição para resolver essa questão!)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I = integral duplaR x,sen(x+y),dA,
onde R = [0,pi/6]times[0,pi/3].
O conteúdo principal é mudança de variáveis em integrais duplas. Vamos usar a substituição
u = x+y, v = x,
que deixa a parte trigonométrica mais simples.

Passo 2

Expressamos x e y em função de (u,v):
x = v, y = u - v
O Jacobiano da transformação é
J = partial xpartial u & partial xpartial v[6pt] partial ypartial u & partial ypartial v = 0 & 1[3pt] 1 & -1 = -0 - 1cdot1 = -1,
logo lvert Jrvert = 1.]

Passo 3

Agora achamos os limites em (u,v). Como
0 <= x = v <= tfracpi6, 0 <= y = u-v <= tfracpi3,
vemos que para cada vin[0,pi/6] temos
v <= u <= v+tfracpi3

Passo 4

Reescrevendo a integral em (u,v):
I = integralv=0^pi/6!integralu=v^v+pi/3 v;sen(u);l|!Jr|;du,dv = integral0^pi/6!integralv^,v+pi/3 v,sen(u),du,dv
Primeiro integramos em u:
integralv^,v+pi/3sen(u),du = l[-cos(u)r]u=v^u=v+pi/3 = -cosl(v+tfracpi3r)+cos(v)
Então
I = integral0^pi/6 vl[cos(v)-cosl(v+tfracpi3r)r],dv

Passo 5

Dividimos em duas integrais:
I = integral0^pi/6vcos(v),dv ;-;integral0^pi/6vcosl(v+tfracpi3r),dv
Usamos integração por partes em cada uma:
integral vcos(v),dv = vsin(v)+cos(v)+C,
e, com w=v+pi/3,
integral vcosl(v+tfracpi3r),dv = integral (w-tfracpi3)cos(w),dw = wsin(w)+cos(w)-tfracpi3sin(w)+C
=(v+tfracpi3)sin(v+tfracpi3)+cos(v+tfracpi3) -tfracpi3sin(v+tfracpi3) = vsinl(v+tfracpi3r)+cosl(v+tfracpi3r)+C

Passo 6

Agora avaliamos de 0 a pi/6:
integral0^pi/6vcos(v),dv =l[vsin(v)+cos(v)r]0^pi/6 =l(tfracpi6cdottfrac12+tfracraiz32r)-(0+1) =-tfrac12+tfracpi12+tfracraiz32,
integral0^pi/6vcosl(v+tfracpi3r),dv =l[vsin(v+tfracpi3)+cos(v+tfracpi3)r]0^pi/6 =l(tfracpi6cdot1+0r)-l(0+tfrac12r) =tfracpi6-tfrac12
Subtraindo,
I=l(-tfrac12+tfracpi12+tfracraiz32r) -l(tfracpi6-tfrac12r) = tfracraiz32-tfrac12 +tfracpi12-tfracpi6 +tfrac12 = tfracraiz3-12-tfracpi12

Resposta

integral duplaR x,sen(x+y),dA = raiz3-12;-;pi12

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