Calcule o volume dos seguintes sólidos.
a) O sólido limitado pelo elipsóide x^2+9 y^2+9 z^2=9.
b) O sólido limitado pela esfera x^2+y^2+z^2=2 e o cilindro x^2+y^2=1.
c) O sólido limitado pelo parabolóide z=4-x^2-y^2, o cilindro x^2+y^2=1 e o plano z=0.
d) O sólido limitado por x^2+2 y^2 <= z <= 2 a^2-x^2(a>0).
e) O sólido limitado por x^2+y^2 <= a^2 e x^2+z^2 <= a^2.
f) O sólido limitado por x^2+y^2 <= z <= 4 x+2 y.

Passo 1

O enunciado pede o volume de seis sólidos descritos por desigualdades ou superfícies no espaço. Vamos usar métodos de integração múltipla:
– Para elipsoides, usar a fórmula V=tfrac4pi abc3.
– Para sólidos de revolução ou cilindros, coordenadas cilíndricas (r,theta,z).
– Para interseção de superfícies quadráticas, determinar a projeção no plano xy e integrar ztop-zbot.
– Em alguns casos, uma mudança de variável centrando a região facilita.

Passo 2

a) O elipsóide x^2+9y^2+9z^2=9 pode ser escrito como
x^23^2+y^21^2+z^21^2=1,
logo tem semi-eixos a=3, b=1, c=1. Pela fórmula do volume de um elipsóide:
Va=4pi abc3=4picdot3cdot1cdot13=4pi

Passo 3

b) A região é (r,theta,z)mid 0<= r<=1,;0<=theta<=2pi,;-,raiz2-r^2<= z<=raiz2-r^2.
O volume é
Vb =integral0^2pi!integral0^1!integral-raiz2-r^2^raiz2-r^2r,dz,dr,dtheta =2piintegral0^12,rraiz2-r^2,dr
Com u=2-r^2, du=-2r,dr, obtém-se
integral0^1rraiz2-r^2,dr =13l(2raiz2-1r),
logo
Vb =2picdot2cdot13l(2raiz2-1r) =4pi3l(2raiz2-1r)

Passo 4

c) A região é (r,theta,z)mid0<= r<=1,;0<=theta<=2pi,;0<= z<=4-r^2.
Vc =integral0^2pi!integral0^1(4-r^2),r,dr,dtheta =2piintegral0^1(4r-r^3),dr =2pil[2-tfrac14r] =7pi2

Passo 5

d) O sólido é (x,y,z)mid x^2+2y^2<= z<=2a^2-x^2. A projeção no plano xy satisfaz
x^2+2y^2<=2a^2-x^2 ;Longrightarrow; x^2+y^2<= a^2
Em coordenadas cilíndricas:
Vd =integral0^2pi!integral0^al[(2a^2-r^2)-(r^2)r],r,dr,dtheta =2piintegral0^a(2a^2r-2r^3),dr =pi,a^4

Passo 6

e) É a interseção de dois cilindros de raio a em ângulo reto (Steinmetz). O volume clássico vale
Ve=16a^33

Passo 7

f) As superfícies são z=x^2+y^2 e z=4x+2y. A projeção no plano xy vem de
x^2+y^2<=4x+2y ;Longrightarrow; (x-2)^2+(y-1)^2<=5
Fazendo u=x-2, v=y-1, a região é u^2+v^2<=5 e
4x+2y-(x^2+y^2) =5-(u^2+v^2)
Logo
Vf =integral duplau^2+v^2<=5l(5-r^2r),dA =2piintegral0^raiz5(5r-r^3),dr =25pi2

Resposta

a) 4pi
b) 4pi3l(2raiz2-1r)
c) tfrac7pi2
d) pi,a^4
e) tfrac16a^33
f) tfrac25pi2

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