Calcule o volume dos seguintes sólidos.
a) O sólido limitado pelo elipsóide
.
b) O sólido limitado pela esfera
e o cilindro
.
c) O sólido limitado pelo parabolóide
, o cilindro
e o plano
.
d) O sólido limitado por
.
e) O sólido limitado por
e
.
f) O sólido limitado por
.
a) O sólido limitado pelo elipsóide
b) O sólido limitado pela esfera
c) O sólido limitado pelo parabolóide
d) O sólido limitado por
e) O sólido limitado por
f) O sólido limitado por
Passo 1
O enunciado pede o volume de seis sólidos descritos por desigualdades ou superfícies no espaço. Vamos usar métodos de integração múltipla:
– Para elipsoides, usar a fórmula .
– Para sólidos de revolução ou cilindros, coordenadas cilíndricas .
– Para interseção de superfícies quadráticas, determinar a projeção no plano e integrar
.
– Em alguns casos, uma mudança de variável centrando a região facilita.
– Para elipsoides, usar a fórmula
– Para sólidos de revolução ou cilindros, coordenadas cilíndricas
– Para interseção de superfícies quadráticas, determinar a projeção no plano
– Em alguns casos, uma mudança de variável centrando a região facilita.
Passo 2
a) O elipsóide
pode ser escrito como
logo tem semi-eixos
,
,
. Pela fórmula do volume de um elipsóide:
Passo 3
b) A região é
.
O volume é
O volume é
Com
,
, obtém-se
logo
Passo 4
c) A região é
.
Passo 5
d) O sólido é
. A projeção no plano
satisfaz
Em coordenadas cilíndricas:
Passo 6
e) É a interseção de dois cilindros de raio
em ângulo reto (Steinmetz). O volume clássico vale
Passo 7
f) As superfícies são
e
. A projeção no plano
vem de
Fazendo
,
, a região é
e
Logo
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
b)
c)
d)
e)
f)