Calcule as integrais:
integralC e^x d x+2 x e^y d y, onde C é o quadrado de lados x=0, x=1, y=0 e y=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular integralC e^x dx + 2x e^y dy, onde C é o contorno de um quadrado com lados em x=0, x=1, y=0 e y=1. Para resolver, vamos precisar usar o conceito de integrais de linha e, mais especificamente, o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a área delimitada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções M(x, y) e N(x, y) na nossa integral de linha. Aqui, M = e^x e N = 2x e^y.

Passo 3

O Teorema de Green diz que para uma curva fechada C que delimita uma região D no plano, temos:
ointC M dx + N dy = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dx dy
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando partial Npartial x:
partialpartial x (2x e^y) = 2 e^y
E calculando partial Mpartial y:
partialpartial y (e^x) = 0
Então:
partial Npartial x - partial Mpartial y = 2 e^y - 0 = 2 e^y

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral dupla sobre a região D, que é o quadrado de x=0 a x=1 e y=0 a y=1:
integral duplaD 2 e^y dx dy
Como a função 2 e^y não depende de x, podemos integrar primeiro em relação a x.

Passo 6

Integrando em relação a x, de 0 a 1:
integral0^1 2 e^y dx = 2 e^y cdot (1 - 0) = 2 e^y
Agora, resta integrar essa expressão em relação a y, de 0 a 1.

Passo 7

Integrando em relação a y, de 0 a 1:
integral0^1 2 e^y dy = 2 [ e^y ]0^1 = 2 (e^1 - e^0) = 2 (e - 1)

Resposta

A integral integralC e^x dx + 2x e^y dy vale 2 (e - 1).

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