Calcule as integrais:
, onde C é o quadrado de lados
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular
, onde
é o contorno de um quadrado com lados em
,
,
e
. Para resolver, vamos precisar usar o conceito de integrais de linha e, mais especificamente, o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a área delimitada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na nossa integral de linha. Aqui,
e
.
Passo 3
O Teorema de Green diz que para uma curva fechada
que delimita uma região
no plano, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Calculando
:
E calculando
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral dupla sobre a região
, que é o quadrado de
a
e
a
:
Como a função
não depende de
, podemos integrar primeiro em relação a
.
Passo 6
Integrando em relação a
, de 0 a 1:
Agora, resta integrar essa expressão em relação a
, de 0 a 1.
Passo 7
Integrando em relação a
, de 0 a 1:
Resposta
A integral
vale
.