Nos limites a seguir, use a regra de LHospital:
lim x 0(e^x+x)^1x

Passo 1

O enunciado pede
limxto0(e^x + x)^1/x.
Note que quando xto0 temos e^x + xto1 e 1/xtoinfty, caracterizando uma forma indeterminada do tipo 1^infty. Para resolver, vamos usar a t’ecnica de tomar logaritmo e aplicar a regra de L’H^opital.

Passo 2

Defina
y = (e^x + x)^1/x,
Tomando logaritmo natural, obtemos
ln y = lnl(e^x + xr)x,

Passo 3

Ao avaliarmos ln(e^x+x) em x=0, vemos que ln(e^0+0)=ln1=0 e o denominador xto0. Logo dfracln(e^x+x)x 'e uma indetermina\c{c}~ao tfrac00, e podemos aplicar a regra de L’H^opital, derivando numerador e denominador em rela\c{c}~ao a x.

Passo 4

A derivada do numerador é
ddxln(e^x + x) = e^x + 1e^x + x,,
e a derivada do denominador x é 1. Portanto,
limxto0ln(e^x + x)x = limxto0e^x + 1e^x + x = e^0 + 1e^0 + 0 = 2
Isso mostra que
limxto0ln y = 2.

Passo 5

Se limxto0ln y = 2, então
limxto0y = e^2.
Logo, o limite original é

Resposta

e^2

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