Determine a área da região delimitada por:
y=f(x)=-x+1, o eixo x e as retas x=-2 e x=0.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a área da região delimitada pela reta y = -x + 1 , pelo eixo x (que é y = 0 ) e pelas retas verticais x = -2 e x = 0 . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas usando integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a reta y = -x + 1 intercepta o eixo x . Isso acontece quando y = 0 . Vamos resolver a equação para encontrar o ponto de interseção.

Passo 3

Resolvendo 0 = -x + 1 :
-x + 1 = 0 -x = -1 x = 1
Então, a reta intercepta o eixo x no ponto (1, 0) .

Passo 4

Agora, vamos verificar os valores de y nas retas verticais x = -2 e x = 0 :
Para x = -2 :
y = -(-2) + 1 = 2 + 1 = 3
Portanto, o ponto é (-2, 3) .
Para x = 0 :
y = -0 + 1 = 1
Portanto, o ponto é (0, 1) .

Passo 5

A área que queremos calcular está entre x = -2 e x = 0 , sob a curva y = -x + 1 e acima do eixo x . Para encontrar essa área, vamos usar uma integral definida que calcula a área sob uma curva entre dois pontos.

Passo 6

A fórmula para a área A é:
A = integral-2^0 (-x + 1) , dx

Passo 7

Vamos calcular a integral:
integral (-x + 1) , dx = -x^22 + x + C
Onde C é a constante de integração, que será eliminada ao calcular a integral definida.

Passo 8

Agora, vamos avaliar a integral de -2 a 0 :
A = [ -x^22 + x ]-2^0 = ( -0^22 + 0 ) - ( -(-2)^22 + (-2) )
Calculando cada parte:
= (0 + 0) - ( -42 - 2 ) = 0 - (-2 - 2) = 0 - (-4) = 4

Resposta

A área da região delimitada é 4 unidades quadradas.

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