Determine a área da região delimitada por:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo, especificamente à área entre curvas. Para resolver, vamos precisar encontrar onde essas duas curvas se encontram e depois calcular a integral que representa essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se cruzam. Para isso, igualamos as duas funções:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
. Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Fatorando a equação:
Passo 4
As soluções dessa equação são
e
. Então, as curvas se encontram nos pontos
e
.
Passo 5
Agora, precisamos saber qual das funções está acima da outra no intervalo de
a
. Vamos analisar um valor dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Como
, a função
está acima de
nesse intervalo.
Passo 6
A área entre duas curvas é dada pela integral da diferença entre a função de cima e a função de baixo, de
a
:
Substituindo os valores que temos:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral:
Passo 9
Aplicando os limites de integração de 0 a 2:
Passo 10
Calculando a diferença:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades quadradas.