Determine a área da região delimitada por:
y=f(x)=x e y=g(x)=x^2-x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a área da região limitada pelas curvas y = f(x) = x e y = g(x) = x^2 - x . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo, especificamente à área entre curvas. Para resolver, vamos precisar encontrar onde essas duas curvas se encontram e depois calcular a integral que representa essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se cruzam. Para isso, igualamos as duas funções:
x = x^2 - x

Passo 3

Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de x . Subtraindo x de ambos os lados, temos:
0 = x^2 - 2x
Fatorando a equação:
0 = x(x - 2)

Passo 4

As soluções dessa equação são x = 0 e x = 2 . Então, as curvas se encontram nos pontos x = 0 e x = 2 .

Passo 5

Agora, precisamos saber qual das funções está acima da outra no intervalo de x = 0 a x = 2 . Vamos analisar um valor dentro desse intervalo, por exemplo, x = 1 :
f(1) = 1
g(1) = 1^2 - 1 = 0
Como f(1) > g(1) , a função f(x) = x está acima de g(x) = x^2 - x nesse intervalo.

Passo 6

A área entre duas curvas é dada pela integral da diferença entre a função de cima e a função de baixo, de x = a a x = b :
Área = integrala^b [f(x) - g(x)] , dx Á
Substituindo os valores que temos:
Área = integral0^2 [x - (x^2 - x)] , dx Á

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
x - (x^2 - x) = x - x^2 + x = 2x - x^2
Então, a integral fica:
Área = integral0^2 (2x - x^2) , dx Á

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral:
integral (2x - x^2) , dx = integral 2x , dx - integral x^2 , dx = x^2 - x^33 + C

Passo 9

Aplicando os limites de integração de 0 a 2:
Área = [ x^2 - x^33 ]0^2 = (2^2 - 2^33) - (0 - 0) = 4 - 83 Á

Passo 10

Calculando a diferença:
4 - 83 = 123 - 83 = 43

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas y = x e y = x^2 - x é 43 unidades quadradas.

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