Uma partícula move-se ao longo de uma reta com posição s(t) e velocidade instantânea v(t)=s^prime(t). Seja a(t)=v^prime(t)=2 t-1 sua aceleração instantânea e v(0)=-6 m / s sua velocidade inicial.
Determine a distância percorrida pela partícula nesse mesmo período de tempo, isto é, calcule integral1^4|v(t)| d t. (O módulo de v(t) é necessário para incluir no cálculo as distâncias percorridas com velocidade negativa que foram subtraídas no cálculo do deslocamento.)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move ao longo de uma reta, e nos querem calcular a distância total que ela percorre entre os instantes de tempo t = 1 e t = 4. Sabemos que a velocidade instantânea da partícula é dada por v(t) e que a aceleração instantânea é a(t) = 2t - 1. Também sabemos que a velocidade inicial, em t = 0, é v(0) = -6, m/s. Para resolver esse problema, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, e entender como a velocidade e a aceleração estão relacionadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a expressão para a velocidade v(t). Sabemos que a aceleração a(t) é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja:
a(t) = dv(t)dt = 2t - 1
Para encontrar v(t), vamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
v(t) = integral a(t), dt = integral (2t - 1), dt = t^2 - t + C

Passo 3

Agora, precisamos determinar a constante de integração C. Para isso, usamos a condição inicial fornecida: v(0) = -6, m/s. Substituindo t = 0 na expressão de v(t):
v(0) = (0)^2 - (0) + C = C = -6
Portanto, a expressão completa para a velocidade é:
v(t) = t^2 - t - 6

Passo 4

Nos pedem para calcular a distância percorrida entre t = 1 e t = 4. A distância total é dada pela integral do valor absoluto da velocidade nesse intervalo:
Distância = integral1^4 |v(t)|, dt â
Antes de integrar, devemos analisar onde a velocidade v(t) é positiva ou negativa nesse intervalo, pois o módulo afeta o sinal da velocidade.

Passo 5

Vamos encontrar os valores de t onde v(t) = 0:
t^2 - t - 6 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
t = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm 52
As soluções são:
t = 62 = 3 e t = -42 = -2
Como estamos no intervalo [1, 4], o único ponto onde v(t) muda de sinal é t = 3.

Passo 6

Agora, vamos dividir a integral em dois intervalos: de 1 a 3 e de 3 a 4. Precisamos determinar o sinal de v(t) em cada subintervalo.
Para 1 <= t < 3:
Escolhemos t = 2:
v(2) = (2)^2 - 2 - 6 = 4 - 2 - 6 = -4 (negativo)
Para 3 < t <= 4:
Escolhemos t = 4:
v(4) = (4)^2 - 4 - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 (positivo)

Passo 7

Assim, a integral fica:
Distância = integral1^3 |v(t)|, dt + integral3^4 |v(t)|, dt = integral1^3 (-v(t)), dt + integral3^4 v(t), dt â
Substituindo v(t) = t^2 - t - 6:
Distância = integral1^3 -(t^2 - t - 6), dt + integral3^4 (t^2 - t - 6), dt â

Passo 8

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral1^3 -(t^2 - t - 6), dt = integral1^3 (-t^2 + t + 6), dt = [-t^33 + t^22 + 6t]1^3
Calculando em t = 3:
-273 + 92 + 18 = -9 + 4.5 + 18 = 13.5
Calculando em t = 1:
-13 + 12 + 6 = -0.333 + 0.5 + 6 = 6.167
Subtraindo:
13.5 - 6.167 = 7.333, m
Segunda integral:
integral3^4 (t^2 - t - 6), dt = [t^33 - t^22 - 6t]3^4
Calculando em t = 4:
643 - 162 - 24 = 21.333 - 8 - 24 = -10.667
Calculando em t = 3:
273 - 92 - 18 = 9 - 4.5 - 18 = -13.5
Subtraindo:
-10.667 - (-13.5) = 2.833, m

Resposta

A distância total percorrida pela partícula entre t = 1 e t = 4 é de aproximadamente 10.166, m.

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