Uma partícula move-se ao longo de uma reta com posição
e velocidade instantânea
. Seja
sua aceleração instantânea e
sua velocidade inicial.
Determine a distância percorrida pela partícula nesse mesmo período de tempo, isto é, calcule
. (O módulo de
é necessário para incluir no cálculo as distâncias percorridas com velocidade negativa que foram subtraídas no cálculo do deslocamento.)
Determine a distância percorrida pela partícula nesse mesmo período de tempo, isto é, calcule
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move ao longo de uma reta, e nos querem calcular a distância total que ela percorre entre os instantes de tempo
e
. Sabemos que a velocidade instantânea da partícula é dada por
e que a aceleração instantânea é
. Também sabemos que a velocidade inicial, em
, é
. Para resolver esse problema, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, e entender como a velocidade e a aceleração estão relacionadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a expressão para a velocidade
. Sabemos que a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja:
Para encontrar
, vamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
Passo 3
Agora, precisamos determinar a constante de integração
. Para isso, usamos a condição inicial fornecida:
. Substituindo
na expressão de
:
Portanto, a expressão completa para a velocidade é:
Passo 4
Nos pedem para calcular a distância percorrida entre
e
. A distância total é dada pela integral do valor absoluto da velocidade nesse intervalo:
Antes de integrar, devemos analisar onde a velocidade
é positiva ou negativa nesse intervalo, pois o módulo afeta o sinal da velocidade.
Passo 5
Vamos encontrar os valores de
onde
:
Resolvendo essa equação quadrática:
As soluções são:
Como estamos no intervalo
, o único ponto onde
muda de sinal é
.
Passo 6
Agora, vamos dividir a integral em dois intervalos: de
a
e de
a
. Precisamos determinar o sinal de
em cada subintervalo.
Para
:
Escolhemos :
Escolhemos
Para
:
Escolhemos :
Escolhemos
Passo 7
Assim, a integral fica:
Substituindo
:
Passo 8
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Calculando em
:
Calculando em
:
Subtraindo:
Segunda integral:
Calculando em
:
Calculando em
:
Subtraindo:
Resposta
A distância total percorrida pela partícula entre
e
é de aproximadamente
.