Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação ao redor do eixo
da região limitada pelas curvas
. (2,0 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente calcular o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
,
,
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo de volumes por integração, especialmente útil quando a rotação é em torno de um eixo vertical ou horizontal.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. Temos a curva
, que é uma exponencial decrescente, o eixo
(ou seja, o eixo
), o eixo
e o eixo
(ou seja, o eixo
). Essa região é como uma “faquinha” entre
e
, sob a curva
.
Passo 3
Agora, aplicando o método das cascas cilíndricas, vamos considerar um elemento vertical infinitesimal na região, paralelo ao eixo
. Esse elemento tem uma largura
, uma altura
e está a uma distância
do eixo
. Quando giramos esse elemento em torno do eixo
, ele forma uma casca cilíndrica.
Passo 4
O volume de uma casca cilíndrica é dado pela fórmula:
No nosso caso:
- O raio é a distância do elemento ao eixo
, que é . - A altura é a função
. - A largura é
.
Então, substituindo na fórmula:
Passo 5
Para encontrar o volume total, precisamos integrar
de
até
:
Podemos simplificar a constante
fora da integral:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral
. Para isso, vamos usar o método de integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 7
Agora, avaliamos a integral definida de
a
:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Passo 8
Agora, substituímos de volta no volume:
Resposta
O volume gerado pela rotação da região em torno do eixo
é: