Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação ao redor do eixo y da região limitada pelas curvas y=e^-x, x=0, x=1, y=0. (2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente calcular o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y = e^-x , x = 0 , x = 1 e y = 0 em torno do eixo y . Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo de volumes por integração, especialmente útil quando a rotação é em torno de um eixo vertical ou horizontal.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. Temos a curva y = e^-x , que é uma exponencial decrescente, o eixo x = 0 (ou seja, o eixo y ), o eixo x = 1 e o eixo y = 0 (ou seja, o eixo x ). Essa região é como uma “faquinha” entre x = 0 e x = 1 , sob a curva y = e^-x .

Passo 3

Agora, aplicando o método das cascas cilíndricas, vamos considerar um elemento vertical infinitesimal na região, paralelo ao eixo y . Esse elemento tem uma largura dx , uma altura y = e^-x e está a uma distância x do eixo y . Quando giramos esse elemento em torno do eixo y , ele forma uma casca cilíndrica.

Passo 4

O volume de uma casca cilíndrica é dado pela fórmula:
dV = 2pi times (raio) times (a<ura) times (largura)
No nosso caso:
  • O raio é a distância do elemento ao eixo y , que é x .
  • A altura é a função y = e^-x .
  • A largura é dx .
Então, substituindo na fórmula:
dV = 2pi x e^-x dx

Passo 5

Para encontrar o volume total, precisamos integrar dV de x = 0 até x = 1 :
V = integral0^1 2pi x e^-x dx
Podemos simplificar a constante 2pi fora da integral:
V = 2pi integral0^1 x e^-x dx

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral integral0^1 x e^-x dx . Para isso, vamos usar o método de integração por partes, onde escolhemos:
  • u = x Rightarrow du = dx
  • dv = e^-x dx Rightarrow v = -e^-x
Aplicando a fórmula de integração por partes integral u dv = uv - integral v du :
integral x e^-x dx = -x e^-x + integral e^-x dx = -x e^-x - e^-x + C

Passo 7

Agora, avaliamos a integral definida de 0 a 1 :
integral0^1 x e^-x dx = [ -x e^-x - e^-x ]0^1
Calculando nos limites:
Para x = 1 :
-1 cdot e^-1 - e^-1 = -2 e^-1
Para x = 0 :
-0 cdot e^0 - e^0 = -1
Subtraindo:
(-2 e^-1) - (-1) = -2 e^-1 + 1

Passo 8

Agora, substituímos de volta no volume:
V = 2pi ( -2 e^-1 + 1 ) = 2pi ( 1 - 2e )

Resposta

O volume gerado pela rotação da região em torno do eixo y é:
V = 2pi (1 - 2e) , unidades cúbicas ú

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