Determine os pontos críticos e classifique-os, em cada uma das funções abaixo: ( 2 pontos)
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos críticos de
definida para
e
, e classificá-los (mínimo, máximo ou ponto de sela). Para isso precisaremos calcular o gradiente
, resolver
e usar o Hessiano para classificar o ponto crítico encontrado.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
O gradiente se anula quando
Passo 3
Substituindo
em
obtemos
Como
, segue
e assim
. Então
Logo há um único ponto crítico
.
Passo 4
Para classificar, calculamos as derivadas segundas:
No ponto
temos
O discriminante do Hessiano é
e como
, concluímos que
é ponto de mínimo local.
Resposta
O único ponto crítico é
e ele é um mínimo local.