Determine os pontos críticos e classifique-os, em cada uma das funções abaixo: ( 2 pontos)
f(x, y)=x y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos críticos de
f(x,y) = x\,y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y},
definida para x\neq0 e y\neq0, e classificá-los (mínimo, máximo ou ponto de sela). Para isso precisaremos calcular o gradiente \nabla f, resolver \nabla f=0 e usar o Hessiano para classificar o ponto crítico encontrado.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(xy + x^{-1} + y^{-1}\Bigr) = y - \frac{1}{x^2},
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(xy + x^{-1} + y^{-1}\Bigr) = x - \frac{1}{y^2}.
O gradiente se anula quando
f_x=0\quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1}{x^2},
f_y=0\quad\Longrightarrow\quad x = \frac{1}{y^2}.

Passo 3

Substituindo y = 1/x^2 em x = 1/y^2 obtemos
x = \frac{1}{(1/x^2)^2} = x^4 \quad\Longrightarrow\quad x^4 - x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x^3-1)=0.
Como x\neq0, segue x^3=1 e assim x=1. Então
y = \frac{1}{x^2} = 1.
Logo há um único ponto crítico (1,1).

Passo 4

Para classificar, calculamos as derivadas segundas:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(y - x^{-2}\Bigr) = \frac{2}{x^3}, \quad f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(x - y^{-2}\Bigr) = \frac{2}{y^3}, \quad f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(y - x^{-2}\Bigr) = 1.
No ponto (1,1) temos
f_{xx}(1,1)=2, \quad f_{yy}(1,1)=2, \quad f_{xy}(1,1)=1.
O discriminante do Hessiano é
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^2 = 2\cdot2 - 1^2 = 3 > 0,
e como f_{xx}(1,1)=2>0, concluímos que (1,1) é ponto de mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico é (1,1) e ele é um mínimo local.

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