Calcule as integrais:
(8 pontos) integral cos x ln (sen x) d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral indefinida
integral cos x ,lnl(sin xr),dx
O conteúdo aplicado será o método de integração por partes, que usa a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e é indicado quando temos o produto de uma função logarítmica por uma função trigonométrica.

Passo 2

Escolhemos
u = lnl(sin xr), dv = cos x,dx,
pois a derivada de ln(sin x) simplifica em termos de cotangente e dv=cos x,dx tem antiderivada fácil.

Passo 3

Derivando u e integrando dv, obtemos
du = dl[ln(sin x)r] = cos xsin x,dx, v = integral cos x,dx = sin x

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes, resulta
integral cos x ,ln(sin x),dx = u,v - integral v,du = sin x,ln(sin x) - integral sin x ,cos xsin x,dx = sin x,ln(sin x) - integral cos x,dx

Passo 5

A integral remanescente é imediata:
integral cos x,dx = sin x
Portanto a antiderivada geral é
sin x,ln(sin x) - sin x + C

Resposta

sin x,ln(sin x) - sin x + C

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