Para as equações de Euler da questão anterior mostre que:
Se a equação indicial possui duas raízes iguais, então
e
são soluções fundamentais da equação e, portanto, a solução geral é
Se a equação indicial possui duas raízes iguais, então
Passo 1
O enunciado trata da equação de Euler
cuja substituição de uma solução do tipo
leva à equação indicial
Queremos mostrar que, se essa equação indicial tem duas raízes iguais, então
são soluções independentes, e assim a solução geral é
Passo 2
Assumindo
, temos
Substituindo em
obtém-se
Passo 3
Quando a equação indicial
tem uma raiz dupla, seu discriminante é zero:
Nesse caso a única raiz é
Passo 4
A primeira solução fundamental é
Para achar a segunda solução usamos redução de ordem escrevendo a EDO na forma padrão
em que
. A fórmula de redução de ordem dá
Passo 5
Calculamos
e como
resulta
Logo
Essas duas soluções são linearmente independentes, pois envolvem
.