Para as equações de Euler da questão anterior mostre que:
Se a equação indicial possui duas raízes iguais, então y1(x)=x^1-b2 e y2(x)=x^1-b2 ln x são soluções fundamentais da equação e, portanto, a solução geral é
y(x)=c1 x^1-b2+c2 x^1-b2 ln x, para x>0

Passo 1

O enunciado trata da equação de Euler
x^2y'' + b,x,y' + c,y = 0,
cuja substituição de uma solução do tipo y=x^r leva à equação indicial
r(r-1) + b,r + c = 0
Queremos mostrar que, se essa equação indicial tem duas raízes iguais, então
y1(x)=x^1-b2 e y2(x)=x^1-b2ln x
são soluções independentes, e assim a solução geral é
y(x)=c1x^1-b2+c2x^1-b2ln x, x>0

Passo 2

Assumindo y=x^r, temos
y' = r,x^r-1, y'' = r(r-1),x^r-2
Substituindo em x^2y'' + bxy' + cy=0 obtém-se
x^2l[r(r-1)x^r-2r]+b,xl[r x^r-1r]+c,x^r=0 Longrightarrow r(r-1)+b,r+c=0

Passo 3

Quando a equação indicial
r^2+(b-1)r+c=0
tem uma raiz dupla, seu discriminante é zero:
(b-1)^2-4c=0
Nesse caso a única raiz é
r0 = -b-12 = 1-b2

Passo 4

A primeira solução fundamental é
y1(x)=x^r0=x^1-b2
Para achar a segunda solução usamos redução de ordem escrevendo a EDO na forma padrão
y'' + bxy' + cx^2y = 0,
em que P(x)=tfracbx. A fórmula de redução de ordem dá
y2(x)=y1(x),integral e^-integral P(x),dxy1(x)^2,dx

Passo 5

Calculamos
-integral P(x),dx = -integral bx,dx = -bln x, e^-integral P,dx=x^-b,
e como y1^2=x^2r0=x^1-b resulta
e^-integral P,dxy1^2 =x^-bx^1-b =x^-1 Longrightarrow integral x^-1dx = ln x
Logo
y2(x) = x^r0,ln x = x^1-b2ln x
Essas duas soluções são linearmente independentes, pois envolvem ln x.

Resposta

y(x)=c1,x^1-b2+c2,x^1-b2ln x, x>0

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