Exercício II.19: Prove, por substituição direta, que uma solução da equação apresentada é dada pelo pacote gaussiano, ou seja:
psi(x, t)=N^primeraiza^2+i hbar tm e^-x^22(a^2+i hbar tm)

Passo 1

O enunciado pede para verificar, por substituição direta, que a função
psi(x, t)=N'raiza^2+ihbar tmexp!l(-x^22l(a^2+ihbar tmr)r)
satisfaz a equação de Schr"odinger livre em uma dimens~ao, isto `e,
ihbarpartialpsipartial t =-hbar^22mpartial^2psipartial x^2
Precisaremos calcular partialpsi/partial t e partial^2psi/partial x^2, e mostrar que ao inseri-los na equa\c{c}~ao acima ambos os lados coincidem.

Passo 2

Para simplificar a notação, definimos
D(t)=a^2+ihbar tm,
de modo que
psi(x,t)=N',D(t)^-1/2exp!l(-x^22D(t)r)
Note que
dDdt=ihbarm

Passo 3

Cálculo de partialpsi/partial t. Aplicando a regra do produto e cadeia,
partialpsipartial t =psil[-12,D^-1dDdt +l(-x^22r)l(-D^-2r)dDdtr] =psi,dDdtl[-12D+x^22D^2r]
Como dDdt=ihbar/m, segue
partialpsipartial t =psi,ihbarml[-12D+x^22D^2r]

Passo 4

Cálculo de partial^2psi/partial x^2. Primeiro,
partialpsipartial x =psil(-xDr) Longrightarrow partial^2psipartial x^2 =partialpartial xl(psi,(-tfracxD)r) =psil(-tfrac1D+tfracx^2D^2r)

Passo 5

Verifica\c{c}~ao da equa\c{c}~ao de Schr"odinger:
calculamos o lado esquerdo
ihbarpartialpsipartial t =ihbar,psi,ihbarml[-12D+x^22D^2r] =-hbar^2m,psil[-12D+x^22D^2r] =!-hbar^22m,psil[-1D+x^2D^2r]
O lado direito `e
-hbar^22mpartial^2psipartial x^2 =-hbar^22m,psil(-tfrac1D+tfracx^2D^2r),
que coincide exatamente com o lado esquerdo. Assim a igualdade `e satisfeita.

Resposta

A fun\c{c}~ao psi(x,t) dada satisfaz a equa\c{c}~ao de Schr"odinger livre por substitui\c{c}~ao direta.

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