Exercício II.19: Prove, por substituição direta, que uma solução da equação apresentada é dada pelo pacote gaussiano, ou seja:
Passo 1
O enunciado pede para verificar, por substituição direta, que a função
satisfaz a equação de Schr"odinger livre em uma dimens~ao, isto `e,
Precisaremos calcular
e
, e mostrar que ao inseri-los na equa\c{c}~ao acima ambos os lados coincidem.
Passo 2
Para simplificar a notação, definimos
de modo que
Note que
Passo 3
Cálculo de
. Aplicando a regra do produto e cadeia,
Como
, segue
Passo 4
Cálculo de
. Primeiro,
Passo 5
Verifica\c{c}~ao da equa\c{c}~ao de Schr"odinger:
calculamos o lado esquerdo
calculamos o lado esquerdo
O lado direito `e
que coincide exatamente com o lado esquerdo. Assim a igualdade `e satisfeita.
Resposta
A fun\c{c}~ao
dada satisfaz a equa\c{c}~ao de Schr"odinger livre por substitui\c{c}~ao direta.