Calcule as integrais das potências de seno e cosseno abaixo.
integral-pi / 2^pi / 2 cos ^2 theta d theta

Passo 1

Vamos calcular a integral da potência do cosseno, especificamente integral-pi / 2^pi / 2 cos^2 theta , dtheta. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas e identidades trigonométricas que facilitam o cálculo de potências de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante que nos ajuda a simplificar potências de cosseno. Sabemos que:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Essa identidade transforma a potência do cosseno em uma soma, o que facilita a integração.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral, temos:
integral-pi / 2^pi / 2 cos^2 theta , dtheta = integral-pi / 2^pi / 2 1 + cos 2theta2 , dtheta
Podemos separar a integral em duas partes:
= 12 integral-pi / 2^pi / 2 1 , dtheta + 12 integral-pi / 2^pi / 2 cos 2theta , dtheta

Passo 4

Calculando cada parte separadamente:
  1. Primeira integral:
12 integral-pi / 2^pi / 2 1 , dtheta = 12 [ theta ]-pi / 2^pi / 2 = 12 ( pi2 - (-pi2) ) = 12 cdot pi = pi2
  1. Segunda integral:
Para integrar cos 2theta, lembramos que:
integral cos 2theta , dtheta = sin 2theta2
Portanto,
12 integral-pi / 2^pi / 2 cos 2theta , dtheta = 12 [ sin 2theta2 ]-pi / 2^pi / 2 = 14 ( sin pi - sin (-pi) ) = 14 (0 - 0) = 0

Passo 5

Somando as duas partes:
pi2 + 0 = pi2

Resposta

O valor da integral é dfracpi2.

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