Calcule as integrais das potências de seno e cosseno abaixo.
integral-pi / 2^pi / 2 sen^3 x cos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral-pi / 2^pi / 2 sin^3 x cos^2 x , dx. Esse exercício está ligado ao cálculo de integrais envolvendo potências de seno e cosseno. Para resolver, vamos precisar usar técnicas como substituição e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Observamos que temos sin^3 x cos^2 x. Podemos reescrever isso como sin^2 x cdot sin x cdot cos^2 x.

Passo 3

Sabemos que sin^2 x = 1 - cos^2 x pela identidade trigonométrica. Vamos substituir isso na integral:
integral-pi / 2^pi / 2 (1 - cos^2 x) cdot sin x cdot cos^2 x , dx

Passo 4

Agora, distribuímos os termos dentro da integral:
integral-pi / 2^pi / 2 sin x cos^2 x , dx - integral-pi / 2^pi / 2 sin x cos^4 x , dx

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Para a primeira integral integral sin x cos^2 x , dx, usamos a substituição u = cos x, então du = -sin x , dx.

Passo 6

Fazendo a substituição:
integral sin x cos^2 x , dx = -integral u^2 , du = -u^33 + C = -cos^3 x3 + C

Passo 7

Para a segunda integral integral sin x cos^4 x , dx, usamos a mesma substituição u = cos x, du = -sin x , dx:
integral sin x cos^4 x , dx = -integral u^4 , du = -u^55 + C = -cos^5 x5 + C

Passo 8

Agora, avaliamos as integrais definidas de -pi/2 a pi/2:
[ -cos^3 x3 ]-pi/2^pi/2 - [ -cos^5 x5 ]-pi/2^pi/2

Passo 9

Calculamos os valores nos limites de integração. Sabemos que cos(pi/2) = 0 e cos(-pi/2) = 0. Portanto:
( -03 + 03 ) - ( -05 + 05 ) = 0 - 0 = 0

Resposta

O valor da integral é 0.

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