Exercício 2.2. Diga (e calcule) em quais pontos existe a derivada parcial
da função (em alguns pontos é necessário recorrer à definição, ao invés de regras de derivação)
(Resposta:
x neq 0 e origem)
Passo 1
O enunciado define a função
e pede em que pontos existe a derivada parcial
partial f/partial x . Vamos usar a definição
sempre que esse limite existir.
Passo 2
Considere primeiro um ponto
(x0,y0) com
x0neq0 .
- Se
, então em uma vizinhança dey0neq0 e mantendox0 temosy=y0 exneq0 , logoyneq0 é constante.f(x,y)=1 - Se
, então mantendoy0=0 sempre resultay=0 , portanto também é constante.f(x,0)=0
Em ambos os casos
para todo
hneq0 . Assim o limite existe e vale
0 .
Passo 3
Agora considere um ponto
(0,y0) com
y0neq0 . Aqui
f(0,y0)=0 , mas para
hneq0 temos
f(h,y0)=1 (pois
hneq0 e
y0neq0 ). Então
cuja limitante não existe (tende a
+infty ou
-infty conforme
hto0 ). Logo
partial f/partial x não existe nesses pontos.
Passo 4
Finalmente, no ponto
(0,0) temos
f(0,0)=0 . Para qualquer
h mantemos
y=0 e então
f(h,0)=0 . Assim
e o limite existe, valendo
0 .
Resposta
A derivada parcial
partial f/partial x existe em todos os pontos com
xneq0 (e vale
0 ) e também no ponto
(0,0) (onde vale
0 ).