Exercício 2.2. Diga (e calcule) em quais pontos existe a derivada parcial partial f / partial x da função (em alguns pontos é necessário recorrer à definição, ao invés de regras de derivação)
f(x, y)=ll 0 & se x=0 ou y=0 1 & de outra forma
(Resposta: x neq 0 e origem)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= 0 &se x=0 ou y=0, 1 &caso contrário, á
e pede em que pontos existe a derivada parcial partial f/partial x. Vamos usar a definição
partial fpartial x(x0,y0) =limhto0f(x0+h,y0)-f(x0,y0)h,
sempre que esse limite existir.

Passo 2

Considere primeiro um ponto (x0,y0) com x0neq0.
  • Se y0neq0, então em uma vizinhança de x0 e mantendo y=y0 temos xneq0 e yneq0, logo f(x,y)=1 é constante.
  • Se y0=0, então mantendo y=0 sempre resulta f(x,0)=0, portanto também é constante.
    Em ambos os casos
f(x0+h,y0)-f(x0,y0)=0 Rightarrow f(x0+h,y0)-f(x0,y0)h=0
para todo hneq0. Assim o limite existe e vale 0.

Passo 3

Agora considere um ponto (0,y0) com y0neq0. Aqui f(0,y0)=0, mas para hneq0 temos f(h,y0)=1 (pois hneq0 e y0neq0). Então
f(0+h,y0)-f(0,y0)h =1-0h=1h,
cuja limitante não existe (tende a +infty ou -infty conforme hto0). Logo partial f/partial x não existe nesses pontos.

Passo 4

Finalmente, no ponto (0,0) temos f(0,0)=0. Para qualquer h mantemos y=0 e então f(h,0)=0. Assim
f(0+h,0)-f(0,0)h =0-0h=0
e o limite existe, valendo 0.

Resposta

A derivada parcial partial f/partial x existe em todos os pontos com xneq0 (e vale 0) e também no ponto (0,0) (onde vale 0).

Exercícios relacionados