Calcule as integrais das potências de seno e cosseno abaixo.
integral0^2 pi cos ^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral0^2 pi cos^3 x , dx. Esse exercício faz parte do estudo de integrais envolvendo potências de funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica e uma substituição simples de variável.

Passo 2

Primeiro, observe que temos cos^3 x. Quando temos uma potência ímpar de cosseno, uma boa estratégia é separar uma dessas funções cosseno para facilitar a integração. Vamos escrever:
cos^3 x = cos^2 x cdot cos x

Passo 3

Agora, usamos a identidade trigonométrica cos^2 x = 1 - sin^2 x para substituir cos^2 x:
cos^3 x = (1 - sin^2 x) cdot cos x

Passo 4

Com isso, a integral fica:
integral0^2 pi cos^3 x , dx = integral0^2 pi (1 - sin^2 x) cdot cos x , dx

Passo 5

Agora, fazemos uma substituição para simplificar. Vamos deixar u = sin x, então a derivada de u em relação a x é du = cos x , dx. Isso simplifica a integral para:
integral (1 - u^2) , du

Passo 6

Integrando em relação a u:
integral (1 - u^2) , du = u - u^33 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos para a variável original x:
u - u^33 + C = sin x - sin^3 x3 + C

Passo 8

Finalmente, avaliamos a antiderivada nos limites de 0 a 2pi:
[ sin x - sin^3 x3 ]0^2pi = ( sin 2pi - sin^3 2pi3 ) - ( sin 0 - sin^3 03 )

Passo 9

Sabemos que sin 0 = 0 e sin 2pi = 0, então:
0 - 0 - (0 - 0) = 0

Resposta

O valor da integral integral0^2 pi cos^3 x , dx é igual a 0.

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