Calcule as integrais das potências de seno e cosseno abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Esse exercício faz parte do estudo de integrais envolvendo potências de funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica e uma substituição simples de variável.
Passo 2
Primeiro, observe que temos
. Quando temos uma potência ímpar de cosseno, uma boa estratégia é separar uma dessas funções cosseno para facilitar a integração. Vamos escrever:
Passo 3
Agora, usamos a identidade trigonométrica
para substituir
:
Passo 4
Com isso, a integral fica:
Passo 5
Agora, fazemos uma substituição para simplificar. Vamos deixar
, então a derivada de
em relação a
é
. Isso simplifica a integral para:
Passo 6
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, voltamos para a variável original
:
Passo 8
Finalmente, avaliamos a antiderivada nos limites de
a
:
Passo 9
Sabemos que
e
, então:
Resposta
O valor da integral
é igual a 0.