Considere o conjunto a, b, c, mostre que um deles é combinação linear dos outros dois (ou seja a, b, c é LD ), sabendo que:
a=u+2 v-w
b=2 u-3 v+w
c=7 v-3 w
onde u, v e w são vetores quaisquer.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto a,b,c é linearmente dependente, ou seja, que um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Os vetores dados são
a=u+2v-w, b=2u-3v+w, c=7v-3w,
onde u,v,w são vetores “quaisquer”.

Passo 2

Para provar dependência, vamos tentar escrever c como combinação linear de a e b. Ou seja, procuramos escalares alpha e beta tais que
alpha,a+beta,b=c

Passo 3

Substituindo a e b na combinação e agrupando em u,v,w, temos
alphaa+betab =alpha(u+2v-w) +beta(2u-3v+w) =(alpha+2beta)u+(2alpha-3beta)v+(-alpha+beta)w
Queremos isso igual a c=0cdotu+7v-3w.

Passo 4

Igualando coeficientes de
Da primeira equação . Conferindo na segunda: , ok.

Passo 5

Achamos alpha=2 e beta=-1. Portanto
2,a-b=c,
ou seja, c é combinação linear de a e b. Logo o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

c=2a-b.

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