Considere o conjunto a, b, c, mostre que um deles é combinação linear dos outros dois (ou seja a, b, c é LD ), sabendo que:
a=2 u+4 v+w
b=-u+v2+3 w4
c=v+w2
onde u, v e w são vetores quaisquer.

Passo 1

O enunciado dá
a=2u+4v+w, b=-u+tfrac12v+tfrac34w, c=v+tfrac12w,
e pede para mostrar que a,b,c é linearmente dependente, isto é, que um dos vetores é combinação linear dos outros dois.

Passo 2

Vamos tentar encontrar escalares alpha,beta,gamma, nem todos zero, tais que
alpha,a+beta,b+gamma,c=0
Uma escolha simples é definir alpha=1, beta=2 e gamma=-5 e verificar se funciona.

Passo 3

Substituindo as expressões de a,b,c em
a+2b-5c
obtemos
(2u+4v+w) +2l(-u+tfrac12v+tfrac34wr) -5l(v+tfrac12wr)

Passo 4

Agrupando em u,v,w, temos
u:;2 + 2(-1) + 0 = 0, v:;4 + 2cdottfrac12 -5 = 4 +1 -5 = 0, w:;1 + 2cdottfrac34 -5cdottfrac12 = 1 + tfrac32 - tfrac52 = 0
Logo
a+2b-5c=0,
que é uma combinação linear não trivial.

Resposta

Da relação a+2b-5c=0 segue
a=-2b+5c,
isto é, a é combinação linear de b e c, mostrando que a,b,c é linearmente dependente.

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