Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os máximos e mínimos locais da função . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente otimização de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular derivadas parciais, encontrar pontos críticos e analisar a natureza desses pontos usando a matriz Hessiana.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando apenas uma das variáveis muda.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Passo 3
Agora, a gente precisa encontrar os pontos críticos, que são os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Isso significa resolver o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vamos usar a eliminação aqui.
Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 4 para igualar os coeficientes de [x):
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituindo (y = -1] na primeira equação original:
Então, o ponto crítico é .
Passo 4
Para determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela, vamos analisar a segunda derivada usando a matriz Hessiana. Primeiro, encontramos as derivadas parciais de segunda ordem: