Calcule os máximos e mínimos localis da função
f(x, y)=2 x^2+3 x y+4 y^2-5 x+2 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os máximos e mínimos locais da função f(x, y) = 2x^2 + 3xy + 4y^2 - 5x + 2y . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente otimização de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular derivadas parciais, encontrar pontos críticos e analisar a natureza desses pontos usando a matriz Hessiana.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a x e y . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando apenas uma das variáveis muda.
A derivada parcial em relação a x é:
fx = partial fpartial x = 4x + 3y - 5
E a derivada parcial em relação a y é:
fy = partial fpartial y = 3x + 8y + 2

Passo 3

Agora, a gente precisa encontrar os pontos críticos, que são os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Isso significa resolver o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vamos usar a eliminação aqui.
Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 4 para igualar os coeficientes de [x):
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituindo (y = -1] na primeira equação original:
Então, o ponto crítico é .

Passo 4

Para determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela, vamos analisar a segunda derivada usando a matriz Hessiana. Primeiro, encontramos as derivadas parciais de segunda ordem:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 4 fyy = partial^2 fpartial y^2 = 8 fxy = partial^2 fpartial x partial y = 3

Passo 5

A matriz Hessiana H é dada por:
H = fxx & fxy fxy & fyy = 4 & 3 3 & 8
Calculamos o determinante da Hessiana:
det(H) = (4)(8) - (3)(3) = 32 - 9 = 23

Passo 6

Com o determinante da Hessiana sendo positivo ( det(H) > 0 ) e fxx > 0 , isso indica que o ponto crítico (2, -1) é um mínimo local.

Resposta

A função f(x, y) = 2x^2 + 3xy + 4y^2 - 5x + 2y possui um mínimo local no ponto (2, -1) .

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