Calcule as integrais primitivas e aprensete os calculos:
integral 3 x^2 e^-2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral 3 x^2 e^-2 x d x. Esse exercício é de cálculo integral, especificamente de integrais envolvendo funções polinomiais e exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral retirando o 3 de fora: 3 integral x^2 e^-2x dx. Agora, vamos aplicar a integração por partes. Lembra que a fórmula é integral u , dv = u , v - integral v , du. Precisamos escolher o que será u e dv.

Passo 3

Vamos deixar u = x^2, assim fácil de derivar, e dv = e^-2x dx. Agora, vamos derivar u e integrar dv:
  • du = 2x dx
  • v = integral e^-2x dx = -12 e^-2x

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^2 e^-2x dx = u , v - integral v , du = x^2 (-12 e^-2x) - integral (-12 e^-2x) (2x) dx

Passo 5

Simplificando a expressão:
= -12 x^2 e^-2x + integral x e^-2x dx
Agora, precisamos resolver a nova integral integral x e^-2x dx usando novamente integração por partes.

Passo 6

Para integral x e^-2x dx, vamos escolher:
  • u = x
  • dv = e^-2x dx
Calculando du e v:
  • du = dx
  • v = integral e^-2x dx = -12 e^-2x

Passo 7

Aplicando a integração por partes novamente:
integral x e^-2x dx = u , v - integral v , du = x (-12 e^-2x) - integral (-12 e^-2x) dx

Passo 8

Simplificando:
= -12 x e^-2x + 12 integral e^-2x dx
Integrando integral e^-2x dx:
= -12 x e^-2x - 14 e^-2x + C, onde C é a constante de integração.

Passo 9

Voltando para a expressão anterior:
integral x^2 e^-2x dx = -12 x^2 e^-2x + (-12 x e^-2x - 14 e^-2x) + C

Passo 10

Fatorando e^-2x:
= -12 e^-2x ( x^2 + x + 12 ) + C
Multiplicando pelo 3 que havíamos retirado no começo:
= -32 e^-2x ( x^2 + x + 12 ) + C

Resposta

A integral primitiva é:
integral 3 x^2 e^-2x dx = -32 e^-2x ( x^2 + x + 12 ) + C

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