Determine se as séries convergem ou divergem:
sumn=1^infty n^pe^n para qualquer p

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty n^pe^n
para qualquer valor real de p.
Como temos um termo exponencial decrescente em e^n que tende a anular até mesmo potências de n, o teste mais direto aqui é o teste da razão (ou critério de d’Alembert).

Passo 2

Aplicando o teste da razão, consideramos
an = n^pe^n
e calculamos
L ;=; limntoinfty |an+1an| =limntoinfty (n+1)^p/e^,n+1n^p/e^,n =limntoinftyl(n+1nr)^p1e =1e,
Como tfrac1e<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente, independentemente do valor de p.

Resposta

A série
sumn=1^infty n^pe^n
converge (na verdade converge absolutamente) para todo pinR.

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