Determine se as séries convergem ou divergem: para qualquer
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
para qualquer valor real de .
Como temos um termo exponencial decrescente em que tende a anular até mesmo potências de , o teste mais direto aqui é o teste da razão (ou critério de d’Alembert).
Passo 2
Aplicando o teste da razão, consideramos
e calculamos
Como tfrac1e<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente, independentemente do valor de p.
Resposta
A série
sumn=1^infty n^pe^n
converge (na verdade converge absolutamente) para todopinR.