Determine o limite:
lim x 2 2 x^2-16x-2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limite. A questão pede para a gente encontrar o limite da função 2x^2 - 16x - 2 quando x se aproxima de 2. Vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente sobre limites de funções racionais. Para isso, vamos precisar simplificar a expressão para eliminar a indeterminação que aparece quando substituímos x = 2 .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 2 diretamente na expressão para ver o que acontece:
2(2)^2 - 162 - 2 = 2 times 4 - 160 = 8 - 160 = -80
Aqui, temos uma indeterminação do tipo 00 , que significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Para eliminar essa indeterminação, vamos fatorar o numerador. Olhando para 2x^2 - 16 , podemos fatorar o 2:
2x^2 - 16 = 2(x^2 - 8)
Agora, a expressão fica:
2(x^2 - 8)x - 2
Mas ainda não conseguimos cancelar o termo x - 2 . Vamos tentar fatorar x^2 - 8 . No entanto, x^2 - 8 não é fatorável de forma simples com números inteiros. Então, vamos tentar outra abordagem usando limites.

Passo 4

Quando encontramos uma indeterminação 00 , podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.
Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador 2x^2 - 16 é 4x .
Derivada do denominador x - 2 é 1 .
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:
limx 2 2x^2 - 16x - 2 = limx 2 4x1 = 4 times 2 = 8

Resposta

O limite é igual a 8.

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