Determine o limite:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de limite. A questão pede para a gente encontrar o limite da função
quando
se aproxima de 2. Vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente sobre limites de funções racionais. Para isso, vamos precisar simplificar a expressão para eliminar a indeterminação que aparece quando substituímos
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Aqui, temos uma indeterminação do tipo
, que significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.
Passo 3
Para eliminar essa indeterminação, vamos fatorar o numerador. Olhando para
, podemos fatorar o 2:
Agora, a expressão fica:
Mas ainda não conseguimos cancelar o termo
. Vamos tentar fatorar
. No entanto,
não é fatorável de forma simples com números inteiros. Então, vamos tentar outra abordagem usando limites.
Passo 4
Quando encontramos uma indeterminação
, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.
Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador
é
.
Derivada do denominador
é
.
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:
Resposta
O limite é igual a 8.