Calcule as integrais de produtos de funções trigonométricas com arcos diferentes.
integral-pi^pi sen 2 x sen 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral-pi^pisin(2x),sin(3x),dx
que envolve o produto de senos com argumentos diferentes. Para resolver, vamos usar a identidade de produto para soma de ângulos e, se necessário, a simetria da função.

Passo 2

Aplicamos a identidade
sin(A),sin(B) =tfrac12l[cos(A-B)-cos(A+B)r]
No nosso caso A=2x e B=3x, então
sin(2x),sin(3x) =tfrac12l[cos(2x-3x)-cos(2x+3x)r] =tfrac12l[cos(-x)-cos(5x)r]
Como cos(-x)=cos(x), temos
sin(2x),sin(3x) =tfrac12l[cos(x)-cos(5x)r]

Passo 3

Substituindo na integral,
integral-pi^pisin(2x)sin(3x),dx =tfrac12integral-pi^picos(x),dx -tfrac12integral-pi^picos(5x),dx
Calculamos cada termo:
integral-pi^picos(x),dx =l[sin(x)r]-pi^pi =sin(pi)-sin(-pi)=0-0=0,
integral-pi^picos(5x),dx =l[tfrac15sin(5x)r]-pi^pi =tfrac15l(sin(5pi)-sin(-5pi)r)=0-0=0

Passo 4

Como ambas as integrais de cosseno são zero, concluímos que
integral-pi^pisin(2x)sin(3x),dx =tfrac12l(0-0r)=0

Resposta

0

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