Determine se o par de funções dadas é linearmente independente ou linearmente dependente. PELA DEFINIGAO
f(x)=e^3 x cos (x), g(x)=e^3 x sin (x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar, pela definição, se as funções
f(x)=e^3xcos(x), g(x)=e^3xsin(x)
são linearmente independentes ou dependentes. O conteúdo é teoria de espaços vetoriais de funções: dizemos que f e g são linearmente independentes se, quando
c1f(x)+c2g(x)=0para todo x,
segue-se que c1=c2=0.

Passo 2

Suponha que existam constantes c1 e c2 tais que
c1f(x)+c2g(x)=0 para todo real x
Substituindo f e g obtemos
c1e^3xcos(x)+c2e^3xsin(x)=0

Passo 3

Como e^3xneq0 para todo x, podemos dividir por e^3x e ficar com
c1cos(x)+c2sin(x)=0 para todo x
Para descobrir c1 e c2, basta avaliar em dois pontos distintos:
  • Em x=0: cos(0)=1, sin(0)=0, logo
c1cdot 1 + c2cdot 0 = 0 Longrightarrow c1=0
  • Em x=tfracpi2: cos(tfracpi2)=0, sin(tfracpi2)=1, logo
c1cdot 0 + c2cdot 1 = 0 Longrightarrow c2=0

Resposta

As únicas constantes que satisfazem a combinação linear nula são c1=c2=0. Portanto, pelas definição, f e g são linearmente independentes.

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