Determine se o par de funções dadas é linearmente independente ou linearmente dependente. PELA DEFINIGAO
f(x)=e^3 x, g(x)=x e^3(x-1)

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
f(x)=e^3x e g(x)=x,e^3(x-1)
e pede para verificar, pela definição, se existe combinação linear
a,f(x)+b,g(x)=0
que seja identicamente zero sem que a e b sejam ambos nulos.

Passo 2

Escrevemos a combinação e fatoramos a parte exponencial comum:
a,e^3x+b,x,e^3(x-1) = a,e^3x+b,x,e^3x-3 = e^3x-3l(a,e^3 + b,xr)

Passo 3

Como e^3x-3neq0 para todo x, a condição
e^3x-3l(a,e^3 + b,xr)=0
implica
a,e^3 + b,x = 0
para todo x. Isto é um polinômio em x que só pode ser nulo identicamente se os coeficientes de x e do termo constante forem zero, ou seja
b=0 e a,e^3=0;Longrightarrow;a=0

Resposta

As únicas constantes que anulam a combinação linear são a=0 e b=0, logo f e g são linearmente independentes.

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