Para os itens abaixo, determine um fator integrante apropriado para transformar a equação em exata.
6 x y d x+(4 y+9 x^2) d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
6,x,y,dx + l(4,y + 9,x^2r),dy = 0
que não é exata à primeira vista. O conteúdo é equações diferenciais exatas e vamos buscar um fator integrante que torne o diferencial exato.

Passo 2

Para verificar a exatidão comparamos as derivadas parciais:
M(x,y)=6,x,y, N(x,y)=4,y+9,x^2,
partial Mpartial y=6,x, partial Npartial x=18,x
Como não são iguais, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante do tipo mu(y). A condição para mu(y) depende apenas de y é
partial Npartial x-partial Mpartial yM = 18x-6x6xy = 12x6x,y = 2y,
o que de fato depende só de y.

Passo 4

Integramos
dmumu=2y,dy
para obter
lnmu=2ln y + C
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mu(y)=y^2

Resposta

O fator integrante apropriado é mu(y)=y^2.

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