Questão 2 - Estudo de função
Considere
.
(a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento; máximos e mínimos locais.
(b) Determine os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
(c) Esboce o gráfico da função com base nas informações.
Considere
(a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento; máximos e mínimos locais.
(b) Determine os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
(c) Esboce o gráfico da função com base nas informações.
Passo 1
Beleza, vamos estudar a função
. Isso é cálculo diferencial: a gente usa a derivada primeira pra ver onde a função cresce ou decresce e achar máximos e mínimos locais, e a derivada segunda pra ver concavidade e pontos de inflexão. Você vai precisar saber derivar polinômios e analisar sinais de função.
Passo 2
Calcula a primeira derivada:
Pra achar pontos críticos, resolve
:
- Divide tudo por 5:
. - Faz a troca
: . - Delta:
. -
, então e . - Volta pra
:
Logo os pontos críticos são
.
Passo 3
Agora testa o sinal de
em cada intervalo:
- Em
: escolhe , → cresce. - Em
: escolhe , → decresce. - Em
: escolhe , → cresce. - Em
: escolhe , → decresce. - Em
: escolhe , → cresce.
Classificando extremos (sinal muda de + pra – é máximo; de – pra + é mínimo):
-
: → máximo local. -
: → mínimo local. -
: → máximo local. -
: → mínimo local.
Pra achar as alturas:
Passo 4
Calcula a segunda derivada:
Resolve
:
-
→ . -
→ .
Testa o sinal:
- Em
: → concava pra baixo. - Em
: → concava pra cima. - Em
: → concava pra baixo. - Em
: → concava pra cima.
Logo há pontos de inflexão em
.
Passo 5
Esboço do gráfico:
- Vem de
crescendo e côncavo pra baixo até (máx). - Desce côncavo pra baixo, passa em
(inflexão), fica côncavo pra cima e chega no mínimo . - Sobe côncavo pra cima, inflexão em
; depois cai côncavo pra baixo até o máximo . - A seguir desce côncavo pra baixo, inflexão em
, atinge (mínimo) e depois sobe côncavo pra cima rumo a .
Resposta
a) Cresce em
,
,
;
decresce em ,
.
Máximos locais: e
.
Mínimos locais: e
.
decresce em
Máximos locais:
Mínimos locais:
b) Concava pra baixo em
e
;
concava pra cima em e
.
Pontos de inflexão em .
concava pra cima em
Pontos de inflexão em
c) Gráfico conforme esboço descrito: curva de quinto grau subindo, descendo e alternando concavidades nos pontos calculados.