Questão 2 - Estudo de função
Considere f(x)=x^5-5 x^3+4 x.
(a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento; máximos e mínimos locais.
(b) Determine os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
(c) Esboce o gráfico da função com base nas informações.

Passo 1

Beleza, vamos estudar a função f(x)=x^5-5x^3+4x. Isso é cálculo diferencial: a gente usa a derivada primeira pra ver onde a função cresce ou decresce e achar máximos e mínimos locais, e a derivada segunda pra ver concavidade e pontos de inflexão. Você vai precisar saber derivar polinômios e analisar sinais de função.

Passo 2

Calcula a primeira derivada:
f'(x)=ddx(x^5-5x^3+4x)=5x^4-15x^2+4
Pra achar pontos críticos, resolve f'(x)=0:
  1. Divide tudo por 5: x^4-3x^2+0.8=0.
  2. Faz a troca t=x^2: t^2-3t+0.8=0.
  3. Delta: De<a=9-4cdot0.8=5.8.
  4. t=3pmraiz5.82, então t1approx2.704 e t2approx0.296.
  5. Volta pra x:
x=pmraiz2.704approxpm1.643, x=pmraiz0.296approxpm0.544
Logo os pontos críticos são xapprox -1.643,,-0.544,,0.544,,1.643.

Passo 3

Agora testa o sinal de f'(x) em cada intervalo:
  • Em (-infty,-1.643): escolhe x=-2, f'>0 → cresce.
  • Em (-1.643,-0.544): escolhe x=-1, f'<0 → decresce.
  • Em (-0.544,0.544): escolhe x=0, f'>0 → cresce.
  • Em (0.544,1.643): escolhe x=1, f'<0 → decresce.
  • Em (1.643,infty): escolhe x=2, f'>0 → cresce.
Classificando extremos (sinal muda de + pra – é máximo; de – pra + é mínimo):
  • xapprox-1.643: +to- → máximo local.
  • xapprox-0.544: -to+ → mínimo local.
  • xapprox 0.544: +to- → máximo local.
  • xapprox 1.643: -to+ → mínimo local.
Pra achar as alturas:
f(pm1.643)approxpm3.628, f(pm0.544)approxpm1.419

Passo 4

Calcula a segunda derivada:
f''(x)=ddx(5x^4-15x^2+4)=20x^3-30x=10x(2x^2-3)
Resolve f''(x)=0:
  • 10x=0 x=0.
  • 2x^2-3=0 x=pmraiz1.5approxpm1.225.
Testa o sinal:
  • Em (-infty,-1.225): f''<0 → concava pra baixo.
  • Em (-1.225,0): f''>0 → concava pra cima.
  • Em (0,1.225): f''<0 → concava pra baixo.
  • Em (1.225,infty): f''>0 → concava pra cima.
Logo há pontos de inflexão em xapprox -1.225,;0,;1.225.

Passo 5

Esboço do gráfico:
  • Vem de -infty crescendo e côncavo pra baixo até (-1.643,3.628) (máx).
  • Desce côncavo pra baixo, passa em -1.225 (inflexão), fica côncavo pra cima e chega no mínimo (-0.544,-1.419).
  • Sobe côncavo pra cima, inflexão em 0; depois cai côncavo pra baixo até o máximo (0.544,1.419).
  • A seguir desce côncavo pra baixo, inflexão em 1.225, atinge (1.643,-3.628) (mínimo) e depois sobe côncavo pra cima rumo a +infty.

Resposta

a) Cresce em (-infty,-1.643), (-0.544,0.544), (1.643,infty);
decresce em (-1.643,-0.544), (0.544,1.643).
Máximos locais: (-1.643,3.628) e (0.544,1.419).
Mínimos locais: (-0.544,-1.419) e (1.643,-3.628).
b) Concava pra baixo em (-infty,-1.225) e (0,1.225);
concava pra cima em (-1.225,0) e (1.225,infty).
Pontos de inflexão em x=-1.225,0,1.225.
c) Gráfico conforme esboço descrito: curva de quinto grau subindo, descendo e alternando concavidades nos pontos calculados.

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