Calcule as integrais de produtos de funções trigonométricas com arcos diferentes.
integral sen 2 x cos 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral sin 2x cos 3x , dx
O conteúdo aqui é integrais de produtos de funções trigonométricas com argumentos diferentes. Para resolver, vamos usar a fórmula que transforma produto em soma de senos.

Passo 2

Aplicamos a identidade
sin A cos B = 12l[sin(A+B) + sin(A-B)r]
Tomando A=2x e B=3x, obtemos
sin 2x cos 3x = 12l[sin(2x+3x) + sin(2x-3x)r] = 12l[sin 5x + sin(-x)r] = 12l[sin 5x - sin xr]

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral sin 2x cos 3x , dx = 12 integral l(sin 5x - sin xr),dx

Passo 4

Agora integramos termo a termo. Sabemos que
integral sin 5x , dx = -15cos 5x, integral sin x , dx = -cos x
Logo,
12 integral (sin 5x - sin x),dx = 12l(-15cos 5x - l(-cos xr)r) + C = -110cos 5x + 12cos x + C

Resposta

-110cos 5x + 12cos x + C

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