Esboce cuidadosamente o sólido limitado pelos três cilindros x^2+y^2=1, x^2+z^2=1 e y^2+z^2=1. Indique as posições dos eixos coordenados e rotule as faces com as equações dos cilindros correspondentes.
Se o primeiro cilindro for x^2+y^2=a^2, onde a<1, escreva, mas não calcule, uma integral dupla que forneça o volume do sólido. E se a>1 ?

Passo 1

O enunciado pede o esboço do sólido
S=(x,y,z)mid x^2+y^2<=1,;x^2+z^2<=1,;y^2+z^2<=1
que é a interseção de três cilindros de raio 1 cujos eixos são os eixos coordenados. Depois, substituímos o primeiro cilindro por x^2+y^2=a^2 e, para a<1 e para a>1, queremos só escrever uma integral dupla que dá o volume de S. Vamos usar projeção no plano xy e limites para z.

Passo 2

Para esboçar, desenhe três cilindros mutual\mente ortogonais:
— O cilindro x^2+y^2=1 abre-se ao longo do eixo z.
— O cilindro x^2+z^2=1 abre-se ao longo do eixo y.
— O cilindro y^2+z^2=1 abre-se ao longo do eixo x.
O sólido resultante é simétrico em relação aos planos coordenados e tem “dois lóbulos” em cada quadrante. Nos esboços, marque os eixos x, y e z e, em cada face curva, anote a equação do cilindro que a gera.

Passo 3

Cada superfície lateral de S é parte de um cilindro:
— As fatias em que x^2+y^2=1 aparecem como elipses vistas de frente, paralelas ao plano xy.
— As fatias em que x^2+z^2=1 aparecem como elipses vistas de lado, paralelas ao plano xz.
— As fatias em que y^2+z^2=1 aparecem como elipses vistas de outro lado, paralelas ao plano yz.
No desenho, rotule-as exatamente com essas três equações.

Passo 4

Caso a<1, o cilindro x^2+y^2=a^2 fica estritamente dentro de x^2+y^2=1, então a projeção de S no plano xy é o disco
Da=(x,y)mid x^2+y^2<= a^2
Para cada (x,y)in Da, as outras duas condições dizem
-,raiz1-x^2;<= z<=raiz1-x^2, -,raiz1-y^2;<= z<=raiz1-y^2,
ou seja
|z|<=minl(raiz1-x^2,,raiz1-y^2r)
Logo, o volume é dado por
V=integral duplaDa2,minl(raiz1-x^2,raiz1-y^2r),dx,dy

Passo 5

Caso a>1, o cilindro x^2+y^2=a^2 deixa de cortar S porque ele envolve completamente a região onde |x|<=1 e |y|<=1. Assim, a projeção de S no plano xy passa a ser
D=(x,y)mid |x|<=1,;|y|<=1,
e as mesmas condições para z nos dão o volume
V=integral duplaD2,minl(raiz1-x^2,raiz1-y^2r),dx,dy

Resposta

Para a<1:
V=integral duplax^2+y^2<= a^22,minl(raiz1-x^2,raiz1-y^2r),dx,dy
Para a>1:
V=integral-1^1integral-1^12,minl(raiz1-x^2,raiz1-y^2r),dy,dx

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