Esboce cuidadosamente o sólido limitado pelos três cilindros
. Indique as posições dos eixos coordenados e rotule as faces com as equações dos cilindros correspondentes.
Se o primeiro cilindro for
, onde
, escreva, mas não calcule, uma integral dupla que forneça o volume do sólido. E se
?
Se o primeiro cilindro for
Passo 1
O enunciado pede o esboço do sólido
que é a interseção de três cilindros de raio
cujos eixos são os eixos coordenados. Depois, substituímos o primeiro cilindro por
e, para
e para
, queremos só escrever uma integral dupla que dá o volume de
. Vamos usar projeção no plano
e limites para
.
Passo 2
Para esboçar, desenhe três cilindros mutual\mente ortogonais:
— O cilindro abre-se ao longo do eixo
.
— O cilindro abre-se ao longo do eixo
.
— O cilindro abre-se ao longo do eixo
.
O sólido resultante é simétrico em relação aos planos coordenados e tem “dois lóbulos” em cada quadrante. Nos esboços, marque os eixos ,
e
e, em cada face curva, anote a equação do cilindro que a gera.
— O cilindro
— O cilindro
— O cilindro
O sólido resultante é simétrico em relação aos planos coordenados e tem “dois lóbulos” em cada quadrante. Nos esboços, marque os eixos
Passo 3
Cada superfície lateral de
é parte de um cilindro:
— As fatias em que aparecem como elipses vistas de frente, paralelas ao plano
.
— As fatias em que aparecem como elipses vistas de lado, paralelas ao plano
.
— As fatias em que aparecem como elipses vistas de outro lado, paralelas ao plano
.
No desenho, rotule-as exatamente com essas três equações.
— As fatias em que
— As fatias em que
— As fatias em que
No desenho, rotule-as exatamente com essas três equações.
Passo 4
Caso
, o cilindro
fica estritamente dentro de
, então a projeção de
no plano
é o disco
Para cada
, as outras duas condições dizem
ou seja
Logo, o volume é dado por
Passo 5
Caso
, o cilindro
deixa de cortar
porque ele envolve completamente a região onde
e
. Assim, a projeção de
no plano
passa a ser
e as mesmas condições para
nos dão o volume
Resposta
Para
:
Para
: