Sejam a, b, c in Z. Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras (provando) ou falsas (dando contraexemplo).
Se a mid b, então -b mid-a.

Passo 1

A questão pede para decidir se a afirmação “Se amid b, então -bmid -a” é verdadeira ou falsa, sabendo que a,b,cinZ. Vamos usar a definição de divisibilidade: “ xmid y se, e só se, existe kinZ tal que y = x,k”.

Passo 2

Suponha que amid b. Então existe um inteiro k tal que b = a,k. Multiplicando essa igualdade por -1 obtemos -b = -1cdot b = -1cdot (a,k) = (-a),k. Assim provamos que (-a)mid(-b).

Passo 3

Perceba que o que acabamos de mostrar é (-a)mid(-b), e não (-b)mid(-a). Para que -bmid(-a) fosse válido teríamos que ter -a) = (-b),m para algum inteiro m, ou seja a = b,m, o que em geral não decorre de amid b.

Passo 4

Um contraexemplo simples é tomar a = 1 e b = 2. Temos 1mid2, mas -2nmid -1 porque (-1)/(-2) = 1/2 não é inteiro.

Resposta

Falsa. Contraexemplo: para a=1 e b=2, ocorre 1mid2 mas -2nmid -1.

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