Sejam
. Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras (provando) ou falsas (dando contraexemplo).
Se
, então
.
Se
Passo 1
A questão pede para decidir se a afirmação “Se
, então
” é verdadeira ou falsa, sabendo que
. Vamos usar a definição de divisibilidade: “
se, e só se, existe
tal que
”.
Passo 2
Suponha que
. Então existe um inteiro
tal que
. Multiplicando essa igualdade por
obtemos
. Assim provamos que
.
Passo 3
Perceba que o que acabamos de mostrar é
, e não
. Para que
fosse válido teríamos que ter
para algum inteiro
, ou seja
, o que em geral não decorre de
.
Passo 4
Um contraexemplo simples é tomar
e
. Temos
, mas
porque
não é inteiro.
Resposta
Falsa. Contraexemplo: para
e
, ocorre
mas
.