Calcule as integrais
Resolva:
integral sec ^6(x) tan ^3(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral . Esse é um exercício de cálculo integral, mais especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e propriedades das funções secante e tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a aplicação da técnica de substituição. Observe que:
tan^3(x) = tan^2(x) cdot tan(x)
E sabemos que integral sec^6(x) tan^3(x) , dx = integral sec^6(x) (sec^2(x) - 1) tan(x) , dx . Então, substituindo:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = sec(x)
Derivando ambos os lados em relação a du = sec(x) tan(x) , dx :
Note que na nossa integral, temos , que está relacionado com .

Passo 4

Rearranjando a expressão de tan(x) , dx = dusec(x) = duu :
integral sec^6(x) (sec^2(x) - 1) tan(x) , dx = integral u^6 (u^2 - 1) cdot duu
Substituindo na integral:

Passo 5

Simplificando a expressão:
integral u^6 (u^2 - 1) cdot duu = integral u^5 (u^2 - 1) , du = integral (u^7 - u^5) , du

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral u^7 , du - integral u^5 , du = u^88 - u^66 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, voltamos à variável original substituindo u^88 - u^66 + C = sec^8(x)8 - sec^6(x)6 + C :

Resposta

A integral é igual a .

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