Calcule.
integral cos x cos ^2 4 x d x

Passo 1

O objetivo é calcular o integral integral cos x,cos^2 4x,dx. Esse problema usa integração de funções trigonométricas e vamos precisar das identidades de redução de potência e produto-para-soma.

Passo 2

Aplicamos a identidade de redução de potência para cos^2 4x:
cos^2 4x = 1 + cos 8x2

Passo 3

Substituímos essa identidade no integrando e separamos em duas parcelas:
integral cos x,cos^2 4x,dx = 12 integral cos x,dx + 12 integral cos x,cos 8x,dx

Passo 4

Na segunda integral, usamos a fórmula produto-para-soma:
cos x,cos 8x = cos(9x) + cos(7x)2
Logo,
12 integral cos x,cos 8x,dx = 14 integral (cos 9x + cos 7x),dx

Passo 5

Agora integramos cada termo separadamente:
integral cos 9x,dx = 19sin 9x, integral cos 7x,dx = 17sin 7x

Passo 6

Reunindo tudo: a primeira parte dá tfrac12sin x. A segunda parte é
14l(19sin 9x + 17sin 7xr) = 136sin 9x + 128sin 7x
Somando e incluindo a constante de integração C, obtemos a resposta final.

Resposta

tfrac12sin x + tfrac136sin 9x + tfrac128sin 7x + C

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