Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potências em torno de
da solução geral da equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os quatro primeiros termos não nulos da série de potências em torno de
para a solução geral da equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem e séries de potências. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante e expandir a solução em série de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. Essa é uma equação linear de primeira ordem da forma
, onde
.
Para resolver, usamos o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular o fator integrante:
Como estamos buscando uma solução geral, podemos ignorar a constante
no fator integrante. Então:
Passo 3
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para a derivada do produto:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Portanto, a solução geral da equação é:
Passo 4
Agora, vamos expandir
em uma série de potências em torno de
. Para isso, fazemos uma substituição: deixe
. Assim, a expressão fica:
Queremos os quatro primeiros termos não nulos dessa expansão.
Resposta
Portanto, os quatro primeiros termos não nulos da série de potências da solução geral são: