Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de potências em torno de x=x0 da solução geral da equação diferencial
y^prime+2(x-1) y=0
x0=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os quatro primeiros termos não nulos da série de potências em torno de y' + 2(x - 1)y = 0 para a solução geral da equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem e séries de potências. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante e expandir a solução em série de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. Essa é uma equação linear de primeira ordem da forma mu(x) = e^integral P(x) , dx , onde mu(x) = e^integral 2(x - 1) , dx = e^(x - 1)^2 + C .
Para resolver, usamos o fator integrante, que é dado por:
mu(x) = e^(x - 1)^2
Vamos calcular o fator integrante:
Como estamos buscando uma solução geral, podemos ignorar a constante no fator integrante. Então:

Passo 3

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^(x - 1)^2 y' + 2(x - 1)e^(x - 1)^2 y = 0
Isso simplifica para a derivada do produto:
ddx( e^(x - 1)^2 y ) = 0
Integrando ambos os lados:
e^(x - 1)^2 y = C
Onde y(x) = C e^-(x - 1)^2 é a constante de integração. Portanto, a solução geral da equação é:

Passo 4

Agora, vamos expandir e^-t^2 = 1 - t^2 + t^42 - t^66 + cdots em uma série de potências em torno de . Para isso, fazemos uma substituição: deixe . Assim, a expressão fica:
Queremos os quatro primeiros termos não nulos dessa expansão.

Resposta

Portanto, os quatro primeiros termos não nulos da série de potências da solução geral são:
y(x) = C [ 1 - (x - 1)^2 + (x - 1)^42 - (x - 1)^66 ] + cdots

Exercícios relacionados