Calcule as integrais a seguin:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações importantes que o enunciado dá:
- A função a integrar é
(a raiz cúbica de ). - Trata-se de uma integral indefinida, então a resposta deve conter a constante de integração
. - A raiz cúbica está definida para todos os
, então não precisamos restringir o domínio aqui.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever a raiz cúbica como potência para usar regras conhecidas.
Assim a integral fica
Passo 3
Agora vamos usar a regra padrão para integrar potências. A regra (que você deve decorar e saber aplicar) é:
Explicando por que isso funciona (uma mini-aula): se definirmos a função
então, aplicando a regra da derivada de uma potência (derivada de
é
), obtemos
Logo
é uma primitiva de
, portanto a fórmula está correta. Aqui
é um número real que representa o expoente da potência.
Passo 4
Aplicamos a regra com
. Calculamos primeiro
:
Substituindo na fórmula da primitiva:
Passo 5
Agora simplificamos a divisão por uma fração. Dividir por
é multiplicar por
. Portanto
Também podemos escrever
como
, então uma forma alternativa é
.
Passo 6
Verificação rápida (para ter certeza): derivando
obtemos
que é exatamente a nossa integranda. Logo a primitiva está correta.
Passo 7
Dica prática para a prova: sempre que vir uma raiz, reescreva como potência racional
e aplique a regra da integral de potência. Exemplo rápido: para
você faz
e obtém
.