Calcule as integrais a seguin:
\int \sqrt[3]{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt[3]{x}\,dx.
Informações importantes que o enunciado dá:
  • A função a integrar é \sqrt[3]{x} (a raiz cúbica de x).
  • Trata-se de uma integral indefinida, então a resposta deve conter a constante de integração C.
  • A raiz cúbica está definida para todos os x\in\mathbb{R}, então não precisamos restringir o domínio aqui.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever a raiz cúbica como potência para usar regras conhecidas.
\sqrt[3]{x} = x^{1/3}.
Assim a integral fica
\int x^{1/3}\,dx.

Passo 3

Agora vamos usar a regra padrão para integrar potências. A regra (que você deve decorar e saber aplicar) é:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\qquad \text{para } n\neq -1.
Explicando por que isso funciona (uma mini-aula): se definirmos a função
F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1},
então, aplicando a regra da derivada de uma potência (derivada de x^{m} é m x^{m-1}), obtemos
F'(x)=\frac{n+1}{n+1}x^{n} = x^{n}.
Logo F é uma primitiva de x^{n}, portanto a fórmula está correta. Aqui n é um número real que representa o expoente da potência.

Passo 4

Aplicamos a regra com n=\tfrac{1}{3}. Calculamos primeiro n+1:
n+1 = \frac{1}{3}+1 = \frac{1}{3}+\frac{3}{3}=\frac{4}{3}.
Substituindo na fórmula da primitiva:
\int x^{1/3}\,dx = \frac{x^{4/3}}{4/3} + C.

Passo 5

Agora simplificamos a divisão por uma fração. Dividir por \tfrac{4}{3} é multiplicar por \tfrac{3}{4}. Portanto
\frac{x^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{4}x^{4/3}.
Também podemos escrever x^{4/3} como \sqrt[3]{x^4}, então uma forma alternativa é \tfrac{3}{4}\sqrt[3]{x^4}.

Passo 6

Verificação rápida (para ter certeza): derivando \tfrac{3}{4}x^{4/3} obtemos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{4}x^{4/3}\right)=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}x^{1/3}=x^{1/3},
que é exatamente a nossa integranda. Logo a primitiva está correta.

Passo 7

Dica prática para a prova: sempre que vir uma raiz, reescreva como potência racional x^{p/q} e aplique a regra da integral de potência. Exemplo rápido: para \int \sqrt[3]{x^2}\,dx você faz x^{2/3} e obtém \frac{x^{5/3}}{5/3}+C=\frac{3}{5}x^{5/3}+C.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}x^{4/3}+C

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