Calcule as seguintes integrais fazendo a substituição dada:
\int \operatorname{sen}^{2} \theta \cos \theta d \theta u=\operatorname{sen} \theta

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int \operatorname{sen}^{2}\theta\cos\theta\,d\theta
usando a substituição dada u=\operatorname{sen}\theta.
Informações relevantes que temos:
\;u=\operatorname{sen}\theta (substituição dada),
a integral original é \int \operatorname{sen}^{2}\theta\cos\theta\,d\theta,
e precisamos expressar todo em termos de u e du antes de integrar.

Passo 2

Calcular du a partir da substituição u=\operatorname{sen}\theta.
Derivando ambos os lados em relação a \theta (regra da derivada de seno):
\frac{du}{d\theta}=\operatorname{cos}\theta.
Multiplicando por d\theta obtemos a relação diferencial usada na substituição:
du=\operatorname{cos}\theta\,d\theta.
Explicação didática: aqui du representa a variação infinitesimal de u quando \theta varia; a igualdade mostra que o pedaço \operatorname{cos}\theta\,d\theta na integral pode ser substituído por du.

Passo 3

Substituir na integral original usando u=\operatorname{sen}\theta e du=\operatorname{cos}\theta\,d\theta.
A integral original tem o fator \operatorname{sen}^{2}\theta e o fator \operatorname{cos}\theta\,d\theta. Usando as relações acima:
\operatorname{sen}^{2}\theta \mapsto u^{2}, \qquad \operatorname{cos}\theta\,d\theta \mapsto du.
Portanto a integral transforma-se em
\int \operatorname{sen}^{2}\theta\cos\theta\,d\theta = \int u^{2}\,du.

Passo 4

Lembrar a regra de integração que vamos usar: a regra da potência para integrais indefinidas.
Regra (power rule): para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Explicação: essa fórmula vem direto do fato de que, ao derivar \frac{u^{n+1}}{n+1} em relação a u, obtemos u^{n} (pela regra do poder da derivada). Aqui C é a constante arbitrária de integração.
Aplicando com n=2 (porque temos u^{2}):
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C.

Passo 5

Voltar à variável original substituindo u=\operatorname{sen}\theta na primitiva encontrada.
Temos
\int \operatorname{sen}^{2}\theta\cos\theta\,d\theta = \frac{u^{3}}{3} + C = \frac{\operatorname{sen}^{3}\theta}{3} + C.

Passo 6

Verificação rápida (para ter confiança): derivar a resposta e ver se volta ao integrando.
Derivando \frac{\operatorname{sen}^{3}\theta}{3} em relação a \theta:
\frac{d}{d\theta}\left(\frac{\operatorname{sen}^{3}\theta}{3}\right) = \frac{1}{3}\cdot 3\operatorname{sen}^{2}\theta\cdot\operatorname{cos}\theta = \operatorname{sen}^{2}\theta\operatorname{cos}\theta,
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{\operatorname{sen}^{3}\theta}{3}+C

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