Calcule as seguintes integrais fazendo a substituição dada:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
usando a substituição dada
.
Informações relevantes que temos:
(substituição dada),
a integral original é ,
e precisamos expressar todo em termos de e
antes de integrar.
a integral original é
e precisamos expressar todo em termos de
Passo 2
Calcular
a partir da substituição
.
Derivando ambos os lados em relação a
(regra da derivada de seno):
Multiplicando por
obtemos a relação diferencial usada na substituição:
Explicação didática: aqui
representa a variação infinitesimal de
quando
varia; a igualdade mostra que o pedaço
na integral pode ser substituído por
.
Passo 3
Substituir na integral original usando
e
.
A integral original tem o fator
e o fator
. Usando as relações acima:
Portanto a integral transforma-se em
Passo 4
Lembrar a regra de integração que vamos usar: a regra da potência para integrais indefinidas.
Regra (power rule): para
,
Explicação: essa fórmula vem direto do fato de que, ao derivar
em relação a
, obtemos
(pela regra do poder da derivada). Aqui
é a constante arbitrária de integração.
Aplicando com
(porque temos
):
Passo 5
Voltar à variável original substituindo
na primitiva encontrada.
Temos
Passo 6
Verificação rápida (para ter confiança): derivar a resposta e ver se volta ao integrando.
Derivando
em relação a
:
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.