Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int x\left(1-x^{2}\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
\int x\left(1-x^{2}\right)^{2}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • O integrando é x multiplicado por \left(1-x^{2}\right)^{2}.
  • Queremos uma primitiva (ou família de primitivas), isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=x\left(1-x^{2}\right)^{2}.
  • Devemos apresentar a constante arbitrária de integração C.

Passo 2

Observação sobre método: quando temos uma expressão do tipo (\text{algo})^{n} e vemos também a derivada do “algo” aparecendo multiplicando, é muito natural usar substituição (trocar a expressão interna por uma nova variável). Aqui o “algo” é \left(1-x^{2}\right) e a sua derivada é -2x, que está proporcional a x presente no integrando. Então escolhemos a substituição:
u = 1 - x^{2}.
Agora calculamos du: derivando ambos os lados em relação a x,
du = -2x\,dx.
Isolamos x\,dx porque ele aparece no integrando:
x\,dx = -\frac{1}{2}\,du.
Explicação didática rápida: u é a nova variável que simplifica o integrando; du representa a variação infinitesimal de u quando x varia, e o objetivo é reescrever toda a integral em termos de u e du.

Passo 3

Substituímos na integral original: onde estava \left(1-x^{2}\right) colocamos u, e onde estava x\,dx colocamos -\dfrac{1}{2}\,du. Assim
\int x\left(1-x^{2}\right)^{2}\,dx = \int u^{2}\left(x\,dx\right) = \int u^{2}\left(-\frac{1}{2}\,du\right).
Fatorando a constante para fora da integral:
\int x\left(1-x^{2}\right)^{2}\,dx = -\frac{1}{2}\int u^{2}\,du.

Passo 4

Agora usamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=2, então
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C.
Multiplicando pelo fator -\dfrac{1}{2} que estava fora,
-\frac{1}{2}\int u^{2}\,du = -\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{3}}{3} + C = -\frac{u^{3}}{6} + C.
Voltando à variável original x (substituindo u=1-x^{2}),
\int x\left(1-x^{2}\right)^{2}\,dx = -\frac{\left(1-x^{2}\right)^{3}}{6} + C.

Passo 5

Verificação rápida por diferenciação (usar a regra da cadeia) para garantir que não houve erro. Seja
F(x) = -\frac{\left(1-x^{2}\right)^{3}}{6}.
Aplicando a derivada:
F'(x) = -\frac{1}{6}\cdot 3\left(1-x^{2}\right)^{2}\cdot\frac{d}{dx}\left(1-x^{2}\right).
Como \dfrac{d}{dx}\left(1-x^{2}\right) = -2x, temos
F'(x) = -\frac{1}{6}\cdot 3\left(1-x^{2}\right)^{2}\cdot(-2x) = x\left(1-x^{2}\right)^{2},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{\left(1-x^{2}\right)^{3}}{6}+C

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