Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- O integrando é
multiplicado por . - Queremos uma primitiva (ou família de primitivas), isto é, uma função
tal que . - Devemos apresentar a constante arbitrária de integração
.
Passo 2
Observação sobre método: quando temos uma expressão do tipo
e vemos também a derivada do “algo” aparecendo multiplicando, é muito natural usar substituição (trocar a expressão interna por uma nova variável). Aqui o “algo” é
e a sua derivada é
, que está proporcional a
presente no integrando. Então escolhemos a substituição:
Agora calculamos
: derivando ambos os lados em relação a
,
Isolamos
porque ele aparece no integrando:
Explicação didática rápida:
é a nova variável que simplifica o integrando;
representa a variação infinitesimal de
quando
varia, e o objetivo é reescrever toda a integral em termos de
e
.
Passo 3
Substituímos na integral original: onde estava
colocamos
, e onde estava
colocamos
. Assim
Fatorando a constante para fora da integral:
Passo 4
Agora usamos a regra de potência para integrais: para
,
Aqui
, então
Multiplicando pelo fator
que estava fora,
Voltando à variável original
(substituindo
),
Passo 5
Verificação rápida por diferenciação (usar a regra da cadeia) para garantir que não houve erro. Seja
Aplicando a derivada:
Como
, temos
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.