Calcule as integrais para os seguintes dados. Indique o tipo de superfície.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo da campo vetorial vec F=[x^2,y^2,z^2] através da superfície S dada pelo plano x+y+z=4 no primeiro octante ( x,y,z>=0). O conteúdo aqui é integral de superfície de um campo vetorial e vamos precisar parametrizar S e obter seu vetor normal.

Passo 2

Parametrizamos S como gráfico em função de x e y:
vec r(x,y)=l(x,,y,,4-x-yr)
com domínio
D=(x,y)mid x>=0,;y>=0,;x+y<=4,

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes:
vec rx=(1,0,-1),
vec ry=(0,1,-1)
O produto vetorial dá o vetor normal (com orientação escolhida de componente k>0):
vec rxtimesvec ry=(1,1,1)
e o elemento de área orientado é
dvec S=(1,1,1),dA

Passo 4

Substituímos na integral de fluxo:
vec F(vec r(x,y))=(x^2,,y^2,,(4-x-y)^2)
vec Fcdot(dvec S)=x^2+y^2+(4-x-y)^2
e a integral fica
integral duplaSvec Fcdot dvec S=integral duplaDl[x^2+y^2+(4-x-y)^2r]dA

Passo 5

Montamos a integral iterada sobre D:
integralx=0^4integraly=0^4-xl[x^2+y^2+(4-x-y)^2r],dy,dx
Expandimos e integramos primeiro em y, obtendo uma função f(x).

Passo 6

Após computar a integral interna e simplificar, chegamos a
integral0^4l(-tfrac53x^3+12x^2-32x+tfrac1283r)dx
eu avaliei e o resultado é 64.

Passo 7

Portanto, o fluxo da campo vec F através de S é 64, e S é uma superfície plana triangular no primeiro octante do plano x+y+z=4.

Resposta

Fluxo = 64. A superfície S é uma superfície plana triangular (aberta) no primeiro octante.

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