Calcule as integrais para os seguintes dados. Indique o tipo de superfície.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo da campo vetorial
através da superfície
dada pelo plano
no primeiro octante (
). O conteúdo aqui é integral de superfície de um campo vetorial e vamos precisar parametrizar
e obter seu vetor normal.
Passo 2
Parametrizamos
como gráfico em função de
e
:
com domínio
Passo 3
Calculamos os vetores tangentes:
O produto vetorial dá o vetor normal (com orientação escolhida de componente
):
e o elemento de área orientado é
Passo 4
Substituímos na integral de fluxo:
e a integral fica
Passo 5
Montamos a integral iterada sobre
:
Expandimos e integramos primeiro em
, obtendo uma função
.
Passo 6
Após computar a integral interna e simplificar, chegamos a
eu avaliei e o resultado é
.
Passo 7
Portanto, o fluxo da campo
através de
é
, e
é uma superfície plana triangular no primeiro octante do plano
.
Resposta
Fluxo = 64. A superfície S é uma superfície plana triangular (aberta) no primeiro octante.