Calcule as integrais a seguir:
integral1^2 (4 x+2) ln (x^2+x)9 x^2+9 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral definida:
integral1^2 (4x + 2) ln(x^2 + x)9x^2 + 9x , dx
Neste problema, vamos usar substituição e integração por partes, que são técnicas de cálculo para resolver integrais. Vamos precisar entender como escolher uma parte da integral para substituir por uma variável mais simples, facilitando o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração dentro da integral:
9x^2 + 9x = 9(x^2 + x)
Então, a integral fica:
integral1^2 (4x + 2) ln(x^2 + x)9(x^2 + x) , dx = 19 integral1^2 (4x + 2) ln(x^2 + x)x^2 + x , dx

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = x^2 + x
Para encontrar du , derivamos u em relação a x :
dudx = 2x + 1 implies du = (2x + 1) , dx
Observe que no numerador da nossa integral temos 4x + 2 , que é o dobro de 2x + 1 :
4x + 2 = 2(2x + 1)

Passo 4

Vamos reescrever a integral com a substituição u = x^2 + x :
19 integral 2(2x + 1) ln(u)u , dx
Agora, substituímos (2x + 1) , dx por du :
19 integral 2 ln(u)u , du

Passo 5

Simplificando a constante fora da integral:
29 integral ln(u)u , du
Agora, vamos resolver a integral integral ln(u)u , du . Para isso, usamos a técnica de integração por partes.

Passo 6

A integração por partes é dada por:
integral v , dw = vw - integral w , dv
Vamos escolher:
v = ln(u) implies dv = 1u , du
dw = 1u , du implies w = ln(u)
Aplicando a fórmula:
integral ln(u)u , du = ln(u) cdot ln(u) - integral ln(u) cdot 1u , du
Isso nos leva a uma equação circular, então precisamos encontrar outra abordagem.

Passo 7

Na verdade, a integral integral ln(u)u , du é uma integral padrão que resulta em:
12 ln^2(u) + C
Portanto, nossa integral original fica:
29 cdot 12 ln^2(u) + C = 19 ln^2(u) + C

Passo 8

Agora, substituímos u = x^2 + x de volta na expressão:
19 ln^2(x^2 + x) + C
Como estamos calculando uma integral definida de 1 a 2, aplicamos os limites de integração:
19 ln^2(x^2 + x) |1^2 = 19 ln^2(2^2 + 2) - 19 ln^2(1^2 + 1)
Calculando os valores:
= 19 ln^2(6) - 19 ln^2(2)

Resposta

A integral vale 19 ln^2(6) - 19 ln^2(2).

Exercícios relacionados