Calcule as integrais a seguir:
integral0^1 x(1+x^2)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de x(1+x^2)^2 de 0 a 1. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente técnicas de integração por substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador (1 + x^2)^2 . Note que a derivada de 1 + x^2 é 2x , que está relacionada ao numerador x . Então, vamos usar a substituição u para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos definir u = 1 + x^2 . Então, a derivada de u em relação a x é du/dx = 2x , ou seja, du = 2x,dx . Isso significa que x,dx = du2 . Vamos substituir na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral0^1 x(1+x^2)^2 ,dx = integralu(0)^u(1) 1u^2 cdot du2 = 12 integralu(0)^u(1) u^-2 ,du
Agora, precisamos encontrar os novos limites de integração. Quando x = 0 , u = 1 + 0^2 = 1 . Quando x = 1 , u = 1 + 1^2 = 2 .

Passo 5

Assim, nossa integral fica:
12 integral1^2 u^-2 ,du
A integral de u^-2 é -u^-1 , então vamos integrar:
12 [ -1u ]1^2 = 12 ( -12 + 11 ) = 12 ( 12 ) = 14

Resposta

O valor da integral é 14 .

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