Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
y^prime cdot e^x+y=e^2 x-y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
y' , e^x+y = e^2x - y
O conteúdo é de equações diferenciáveis separáveis, e vamos precisar isolar y' e separar as variáveis x e y.

Passo 2

Isolando y', temos
y' = e^2x - ye^x+y = e^,2x - y - (x + y) = e^,x - 2y

Passo 3

Agora separamos as variáveis, escrevendo todos os termos em y multiplicando dy e todos em x multiplicando dx:
dydx = e^,x - 2y Longrightarrow e^2y,dy = e^x,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral e^2y,dy = integral e^x,dx
No lado esquerdo, use a substituição u = 2y, du = 2,dy, logo
integral e^2y,dy = 12e^2y
No lado direito,
integral e^x,dx = e^x
Portanto,
12e^2y = e^x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos e^2y e depois y:
e^2y = 2e^x + C',
sendo C' = 2C outra constante arbitrária. Aplicando logaritmo natural em ambos os lados,
2y = lnl(2e^x + C'r) Longrightarrow y = tfrac12lnl(2e^x + C'r)

Resposta

A solução geral é
boxedy(x) = 12lnl(2e^x + Cr),
onde C é constante arbitrária.

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