Considere a função dada por f(x)=e^g(x), em que g(x)=integral4^x^2 t4+t^2 d t. Calcule f^prime(2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função composta f(x) = e^g(x) , onde g(x) é uma integral definida:
g(x) = integral4^x^2 t4 + t^2 , dt
O que precisamos fazer é encontrar a derivada de f(x) quando x = 2 , ou seja, f^prime(2) . Para isso, vamos usar regras de derivação, como a regra da cadeia e o teorema fundamental do cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra da cadeia. Quando temos uma função composta, como f(x) = e^g(x) , a derivada de f em relação a x é:
f^prime(x) = e^g(x) cdot g^prime(x)
Então, para encontrar f^prime(2) , precisamos primeiro encontrar g^prime(x) e depois avaliar tudo em x = 2 .

Passo 3

Agora, vamos focar em g(x) . Temos:
g(x) = integral4^x^2 t4 + t^2 , dt
Para encontrar g^prime(x) , usamos o teorema fundamental do cálculo, que nos diz que a derivada de uma integral com limites variáveis é a função integranda avaliada no limite superior multiplicada pela derivada do limite superior. Assim:
g^prime(x) = x^24 + (x^2)^2 cdot ddx(x^2) = x^24 + x^4 cdot 2x = 2x^34 + x^4

Passo 4

Agora que temos g^prime(x) , podemos substituir de volta na derivada de f(x) :
f^prime(x) = e^g(x) cdot 2x^34 + x^4
Mas queremos isso especificamente para x = 2 .

Passo 5

Vamos calcular g(2) primeiro:
g(2) = integral4^(2)^2 t4 + t^2 , dt = integral4^4 t4 + t^2 , dt = 0
Porque a integral de um valor para ele mesmo é zero.

Passo 6

Agora, substituímos g(2) = 0 e x = 2 na expressão de f^prime(x) :
f^prime(2) = e^0 cdot 2 cdot (2)^34 + (2)^4 = 1 cdot 164 + 16 = 1620 = 45

Resposta

f^prime(2) = dfrac45

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