Considere a função dada por
, em que
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função composta
, onde
é uma integral definida:
O que precisamos fazer é encontrar a derivada de
quando
, ou seja,
. Para isso, vamos usar regras de derivação, como a regra da cadeia e o teorema fundamental do cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da regra da cadeia. Quando temos uma função composta, como
, a derivada de
em relação a
é:
Então, para encontrar
, precisamos primeiro encontrar
e depois avaliar tudo em
.
Passo 3
Agora, vamos focar em
. Temos:
Para encontrar
, usamos o teorema fundamental do cálculo, que nos diz que a derivada de uma integral com limites variáveis é a função integranda avaliada no limite superior multiplicada pela derivada do limite superior. Assim:
Passo 4
Agora que temos
, podemos substituir de volta na derivada de
:
Mas queremos isso especificamente para
.
Passo 5
Vamos calcular
primeiro:
Porque a integral de um valor para ele mesmo é zero.
Passo 6
Agora, substituímos
e
na expressão de
: