Use a derivação implícita para calcular partial zpartial x sabendo que
x^2+2 y^2+3 z^2=1

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo: precisamos encontrar a derivada parcial partial zpartial x usando a derivação implícita, sabendo que a equação que relaciona x, y e z é x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 1. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar uma equação onde as variáveis estão misturadas e como isolar a derivada que queremos encontrar.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Isso significa que vamos aplicar a derivada a cada termo da equação, tratando y como uma constante (já que não estamos derivando em relação a y) e z como uma função de x.

Passo 3

Vamos derivar o primeiro termo, x^2, em relação a x. A derivada de x^2 é:
ddx (x^2) = 2x

Passo 4

Agora, vamos derivar o segundo termo, 2y^2, em relação a x. Como y é tratado como constante, a derivada de uma constante é zero:
ddx (2y^2) = 0

Passo 5

Em seguida, vamos derivar o terceiro termo, 3z^2, em relação a x. Como z é uma função de x, usamos a regra da cadeia:
ddx (3z^2) = 6z cdot partial zpartial x

Passo 6

Finalmente, vamos derivar o lado direito da equação, que é a constante 1, em relação a x. A derivada de uma constante é zero:
ddx (1) = 0

Passo 7

Agora, juntando todas as derivadas que calculamos, a equação derivada fica:
2x + 0 + 6z cdot partial zpartial x = 0

Passo 8

Vamos isolar partial zpartial x na equação:
6z cdot partial zpartial x = -2x Rightarrow partial zpartial x = -2x6z Rightarrow partial zpartial x = -x3z

Resposta

partial zpartial x = -x3z

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