Calcule as integrais a seguir.
integral1^2 x-3x^3+x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é integral1^2 x-3x^3+x^2 , dx. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, mais especificamente, integração de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a fração e usar a técnica de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador x^3 + x^2. Podemos fatorar esse polinômio:
x^3 + x^2 = x^2(x + 1)
Então, a integral fica:
integral1^2 x - 3x^2(x + 1) , dx

Passo 3

Agora, vamos decompôr a fração x - 3x^2(x + 1) em frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa fração como a soma de frações mais simples:
x - 3x^2(x + 1) = Ax + Bx^2 + Cx + 1

Passo 4

Para encontrar os valores de A, B e C, multiplicamos ambos os lados da equação por x^2(x + 1):
x - 3 = A cdot x(x + 1) + B(x + 1) + Cx^2
Expandindo e organizando os termos:
x - 3 = A x^2 + A x + B x + B + C x^2
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
x - 3 = (A + C) x^2 + (A + B) x + B

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + C = 0 A + B = 1 B = -3
Resolvendo o sistema:
  1. De B = -3, já sabemos que B = -3.
  2. Substituindo B na segunda equação: A - 3 = 1, então A = 4.
  3. Substituindo A na primeira equação: 4 + C = 0, então C = -4.

Passo 6

Agora que temos A = 4, B = -3 e C = -4, podemos reescrever a fração original:
x - 3x^2(x + 1) = 4x + -3x^2 + -4x + 1
Simplificando:
4x - 3x^2 - 4x + 1

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral ( 4x - 3x^2 - 4x + 1 ) dx = 4 ln|x| + 3x - 4 ln|x + 1| + C

Passo 8

Como é uma integral definida de 1 a 2, vamos calcular:
[ 4 ln x + 3x - 4 ln (x + 1) ]1^2
Calculando em x = 2:
4 ln 2 + 32 - 4 ln 3
E em x = 1:
4 ln 1 + 3 - 4 ln 2 = 0 + 3 - 4 ln 2
Subtraindo:
(4 ln 2 + 32 - 4 ln 3) - (3 - 4 ln 2) = 8 ln 2 + 32 - 4 ln 3 - 3
Simplificando:
8 ln 2 - 4 ln 3 - 32

Resposta

O valor da integral é 8 ln 2 - 4 ln 3 - 32.

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