Calcule as integrais a seguir.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, mais especificamente, integração de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a fração e usar a técnica de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Podemos fatorar esse polinômio:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos decompôr a fração em frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa fração como a soma de frações mais simples:

Passo 4

Para encontrar os valores de , e , multiplicamos ambos os lados da equação por :
Expandindo e organizando os termos:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo o sistema:
  1. De , já sabemos que .
  2. Substituindo na segunda equação: , então .
  3. Substituindo na primeira equação: , então .

Passo 6

Agora que temos , e , podemos reescrever a fração original:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 8

Como é uma integral definida de 1 a 2, vamos calcular:
Calculando em :
E em :
Subtraindo:
Simplificando:

Resposta

O valor da integral é .

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